Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni
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===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio <math>R\ </math> ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge
(dati del problema <math>M=4\ kg\ </math>, <math>k=2000\ N/m\ </math>, <math>\ell=20\ cm\ </math>, <math>m=300\ g\ </math>, <math>h=50\ cm\ </math>)▼
:<math>\rho=\rho_o(a-r/R)\qquad 0\le r\le R\ </math>
<span class="noprint">[[#7. Sbarra sospesa_2|→ Vai alla soluzione]]</span>▼
Determinare: a) la carica per unità di lunghezza ; b) l'espressione del campo elettrico per <math>r<R\ </math> e in particolare ad <math>R/2\ </math>; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di <math>a\ </math> fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità?
▲(dati del problema <math>
▲<span class="noprint">[[#
== Soluzioni ==
===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
<span class="noprint">[[#7. Sbarra sospesa|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
La carica di un tratto lungo <math>\ell\ </math> è pari a:
:<math>Q=\ell \int_0^R\rho_o(a-r/R)2\pi r dr=2\pi \ell \rho_o \left[\frac {ar^2}2-\frac {r^3}{3R}\right]_0^R=2\pi \ell R^2 \rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)\ </math>
:<math>2k(\ell-\ell_o)-Mg=0\ </math>▼
Quindi la carica per unità di lunghezza vale:
:<math>\
b)
Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza <math>\ell\ </math> (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria):
:<math>
:<math> E_r= \frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\int_0^r(a-r'/R) r' dr'=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\left[\frac {ar'^2}2-\frac {r'^3}{3R}\right]_0^r=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o }\left( \frac {ar}2-\frac {r^2}{3R}\right)\ </math>
:<math>v_o=\sqrt{2gh}=3.13\ m/s\ </math>▼
:<math>v_o+v_f=V_f\ </math>▼
c)
La funzione:
:<math>
è crescente per <math>r\ll R\ </math>, mentre per <math>r\approx R\ </math> è decrescente. La sua derivata è nulla per:
Quindi il campo è massimo a tale distanza dall'asse:
d)
Se $a=1.7\ </math> il valore di
:<math>
è al di fuori della definizione di <math>f(r)\ </math>, quindi la funzione <math>f(r)\ </math> è monotona crescente all'interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione <math>r=R\ </math> e vale:
:<math>E_{max}=11676\
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