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===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
===7. Sbarra sospesa===
[[Immagine:Sbarrasospesa.png|250px|right]]
Una sbarretta di massa <math>M\ </math> è sospesa agli estremi da due molle eguali di costante elastica <math>k\ </math> che a causa della sospensione della sbarretta sono di lunghezza <math>\ell\ </math>. Un piccolo oggetto di massa <math>m\ </math> cade dall'alto da altezza <math>h\ </math> e rimbalza in maniera elastica nel centro della sbarretta. Determinare a) la lunghezza a riposo delle due molle; b) la velocità di impatto e di rimbalzo dell'oggetto di massa <math>m\ </math>; c) la altezza a cui rimbalza; d) la velocità della sbarra subito dopo l'urto e la sua ampiezza di oscillazione.
 
Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio <math>R\ </math> ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge
(dati del problema <math>M=4\ kg\ </math>, <math>k=2000\ N/m\ </math>, <math>\ell=20\ cm\ </math>, <math>m=300\ g\ </math>, <math>h=50\ cm\ </math>)
:<math>\rho=\rho_o(a-r/R)\qquad 0\le r\le R\ </math>
 
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Determinare: a) la carica per unità di lunghezza ; b) l'espressione del campo elettrico per <math>r<R\ </math> e in particolare ad <math>R/2\ </math>; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di <math>a\ </math> fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità?
 
(dati del problema <math>M\rho_o=42\ kg\mu </math>, <math>k=2000\ NC/m\ ^3</math>, <math>\ellR=2010\ cm\ </math>, <math>ma=300\ g\ </math>, <math>h=50\ cm0.9\ </math>)
 
<span class="noprint">[[#726. SbarraNuvola sospesa_2cilindrica infinitamente lunga_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
== Soluzioni ==
 
===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
===7. Sbarra sospesa===
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a)
 
La carica di un tratto lungo <math>\ell\ </math> è pari a:
Imponendo che la sbarra sia inizialmente in equilibrio:
:<math>Q=\ell \int_0^R\rho_o(a-r/R)2\pi r dr=2\pi \ell \rho_o \left[\frac {ar^2}2-\frac {r^3}{3R}\right]_0^R=2\pi \ell R^2 \rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)\ </math>
:<math>2k(\ell-\ell_o)-Mg=0\ </math>
Quindi la carica per unità di lunghezza vale:
segue che:
:<math>\ell_olambda=2\ellpi R^2\rho_o\left(\frac a2-\frac {Mg}{2k}13\right)=1914.7\ cmnC/m \ </math>
 
b)
 
Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza <math>\ell\ </math> (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria):
La velocità di impatto si ricava dalla conservazione della energia:
:<math>mgh2\pi r \ell E_r=\frac 12mv_o{\ell}{\varepsilon_o} \int_0^r\rho_o(a-r'/R)2\pi r' dr'\ </math>
:<math> E_r= \frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\int_0^r(a-r'/R) r' dr'=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\left[\frac {ar'^2}2-\frac {r'^3}{3R}\right]_0^r=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o }\left( \frac {ar}2-\frac {r^2}{3R}\right)\ </math>
:<math>v_o=\sqrt{2gh}=3.13\ m/s\ </math>
:<math>2kE_r(\ell-\ell_or=R/2)-Mg=03201\ V/m\ </math>
Nell'urto si conserva la quantità di moto:
:<math>mv_o=mv_f+MV_f\rightarrow m(v_o-v_f)=MV_f\ </math>
dove <math>v_f\ </math> e <math>V_f\ </math> sono la velocità del punto materiale e della sbarra.
Ma si conserva anche l'energia:
:<math>\frac 12mv_o^2=\frac 12mv_f^2+\frac 12MV_f^2\rightarrow m(v_o-v_f)(v_o+v_f)=MV_f^2\ </math>
Combinando le due equazioni:
:<math>v_o+v_f=V_f\ </math>
Che sostituita nella prima:
:<math> m(v_o-v_f)=M(v_o+v_f)\rightarrow (M+m)v_f=(m-M)v_o\ </math>
:<math>v_f=\frac {m-M} {m+M}v_o=-2.7\ m/s\ </math>
 
c)
 
La funzione:
Quindi dopo l'urto il punto materiale rimbalza ad una altezza:
:<math>mgh_ff(r)=\frac 12mv_f{ar}2-\frac {r^2}{3R}\qquad 0\le r \le R\ </math>
è crescente per <math>r\ll R\ </math>, mentre per <math>r\approx R\ </math> è decrescente. La sua derivata è nulla per:
:<math>h_f=\frac {v_f^2}{2g}=0.36\ m\ </math>
:<math>v_or_x=\sqrtfrac {2gh3aR}4=36.1375\ m/scm\ </math>
Quindi il campo è massimo a tale distanza dall'asse:
:<math>v_o+v_fE_{max}=V_f3432\ V/m\ </math>
 
d)
 
Se $a=1.7\ </math> il valore di
Dalla conservazione della quantità di moto:
:<math>V_fr_x=\frac mM(v_o-v_f)=0.44{3aR}4\approx 13\ m/scm\ </math>
è al di fuori della definizione di <math>f(r)\ </math>, quindi la funzione <math>f(r)\ </math> è monotona crescente all'interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione <math>r=R\ </math> e vale:
Quindi oscillando tutta la sua energia cinetica diventa energia potenziale (attorno ad <math>\ell\ </math>) di ampiezza (le molle sono due):
:<math>E_{max}=11676\frac 12MV_f^2= kx_a^2V/m\ </math>
:<math>x_a=V_f\sqrt{\frac M{2k}}=0.014\ m\ </math>