Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss"

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===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
 
Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio <math>R\ </math> ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge
:<math>\rho=\rho_o(a-r/R)\qquad 0\le r\le R\ </math>
 
Determinare: a) la carica per unità di lunghezza ; b) l'espressione del campo elettrico per <math>r<R\ </math> e in particolare ad <math>R/2\ </math>; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di <math>a\ </math> fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità?
 
(dati del problema <math>\rho_o=2\ \mu C/m^3</math>, <math>R=10\ cm</math>, <math>a=0.9\ </math>)
 
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== Soluzioni ==
 
===1. Guscio sferico ===
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In totale la differenza di potenziale vale:
:<math>DV=DV_1+DV_2=14\ kV\ </math>
 
===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
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a)
 
La carica di un tratto lungo <math>\ell\ </math> è pari a:
:<math>Q=\ell \int_0^R\rho_o(a-r/R)2\pi r dr=2\pi \ell \rho_o \left[\frac {ar^2}2-\frac {r^3}{3R}\right]_0^R=2\pi \ell R^2 \rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)\ </math>
Quindi la carica per unità di lunghezza vale:
:<math>\lambda=2\pi R^2\rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)=14.7\ nC/m \ </math>
 
b)
 
Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza <math>\ell\ </math> (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria):
:<math>2\pi r \ell E_r=\frac {\ell}{\varepsilon_o} \int_0^r\rho_o(a-r'/R)2\pi r' dr'\ </math>
:<math> E_r= \frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\int_0^r(a-r'/R) r' dr'=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\left[\frac {ar'^2}2-\frac {r'^3}{3R}\right]_0^r=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o }\left( \frac {ar}2-\frac {r^2}{3R}\right)\ </math>
:<math>E_r(r=R/2)=3201\ V/m\ </math>
 
c)
 
La funzione:
:<math>f(r)=\frac {ar}2-\frac {r^2}{3R}\qquad 0\le r \le R\ </math>
è crescente per <math>r\ll R\ </math>, mentre per <math>r\approx R\ </math> è decrescente. La sua derivata è nulla per:
:<math>r_x=\frac {3aR}4=6.75\ cm\ </math>
Quindi il campo è massimo a tale distanza dall'asse:
:<math>E_{max}=3432\ V/m\ </math>
 
d)
 
Se $a=1.7\ </math> il valore di
:<math>r_x=\frac {3aR}4\approx 13\ cm\ </math>
è al di fuori della definizione di <math>f(r)\ </math>, quindi la funzione <math>f(r)\ </math> è monotona crescente all'interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione <math>r=R\ </math> e vale:
:<math>E_{max}=11676\ V/m\ </math>