Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Dinamica dei corpi rigidi"

corretto esercizio 3 e 13
(aggiunto esercizio 22)
(corretto esercizio 3 e 13)
 
a) Il momento di inerzia del disco vale:
:<math>I=\frac 12 MR^2=0.2\ kgm^2 </math>
 
:La II equazione cardinale della dinamica:
<math>I=\frac 12 MR^2=0.2\ kgm^2 </math>
:<math>I\frac {d\omega}{dt}=-b\omega\ </math>
 
La II equazione cardinale della dinamica:
 
<math>I\frac {d\omega}{dt}=-b\omega\ </math>
 
La cui soluzione è:
:<math>\omega(Tt)=2.2\omega_o rade^{-tb/sI}\ </math>
 
Essendo <math>\omega(t)I/b=1\omega_o e^{-tbs</I}math>, quindi per <math>t=T=1\ s</math> si ha che:
:<math>\omega(T)=\omega_o e^{-1}=3.7\ rad/s</math>
 
Nel caso di <math>t=T\ </math>:
 
<math>\omega(T)=2.2\ rad/s</math>
 
b) L'energia dissipata è pari alla variazione di energia cinetica rotazionale:
:<math>\Delta E_r=\frac 12 I\omega_o^2\left(1-e^{-2Tb/I1} \right)=98.56\ J</math>
 
<math>\Delta E_r=\frac 12 I\omega_o^2\left(1-e^{-2Tb/I} \right)=9.5\ J</math>
 
=== 4. Anello in discesa ===
 
Applicando la conservazione dell'energia, tra la quota più alta e quella più bassa:
:<math>M_2gh=\frac 12 I\omega^2+\frac 12 M_2v_MM_2v_2^2+\frac 12 m_1v_mm_1v_1^2\ </math>
Non slittando
:<math>v_Mv_2=-\omega R_2\ </math>
:<math>v_mv_1=-\omega r_1\ </math>
sostituendo:
:<math>M_2gh=\frac 12 I\omega^2+\frac 12 M_2\omega^2R_2^2+\frac 12 m_1\omega^2r_1^2\ </math>
da cui:
:<math>\omega =-\sqrt{\frac {2M_2gh}{I+M_2R_2^2+m_1r_1^2}}=-3.3\ rad/s\ </math>
:<math>v_Mv_2=-\omega R_2=R_2\sqrt{\frac {2M_2gh}{I+M_2R_2^2+m_1r_1^2}}=1.6\ m/s\ </math>
:<math>v_mv_1=-\omega r_1=0.65\ m/s\ </math>
b)
 
Le tre equazioni cardinali sono:
:<math>M_2g-T_MT_2=M_2a_MM_2a_2\ </math>
:<math>T_MR_2T_2R_2-T_mr_1T_1r_1=I\alpha\ </math>
:<math>T_mT_1=m_1a_mm_1a_1\ </math>
Essendo:
:<math>a_ma_1=\frac {r_1}{R_2}a_Ma_2\ </math>
Dall'ultima:
:<math>a_Ma_2=\frac {T_mR_2T_1R_2}{m_1r_1}\ </math>
Inoltre
:<math>\alpha=\frac {a_Ma_2}{R_2}=\frac {T_mT_1}{m_1r_1}\ </math>
Le due rimanenti equazioni diventano:
:<math>M_2g-T_MT_2=\frac {M_2T_mR_2M_2T_1R_2}{r_1m_1}\ </math>
:<math>T_MR_2T_2R_2-T_mr_1T_1r_1=\frac {IT_mIT_1}{r_1m_1}\ </math>
Da cui eliminando <math>T_MT_2\ </math> (dividendo per <math>RR_2\ </math> la seconda e sommandole):
:<math>T_mT_1=\frac {m_1M_2gr_1R_2}{ M_2R_2^2+m_1r_1^2+I}=5.3\ N\ </math>
:<math>T_MT_2=M_2g-\frac {T_mR_2M_2T_1R_2M_2}{r_1m_1}=34\ N\ </math>
 
c)
da cui:
:<math>\omega =\sqrt{\frac {2M_2gh-2\mu m_1g hr_1/R_2}{I+M_2R_2^2+mr_1^2}}\ </math>
:<math>v_Mv_2=R_2\sqrt{\frac {2M_2gh-2\mu m_1g h r_1/R_2}{I+M_2R_2^2+m_1r_1^2}}=1.4\ m/s\ </math>
 
===14. Ruota motrice===