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== Esempio ==
A titolo di esempio, per la funzione "definita" da
Effettuiamo ora lo studio della [[Funzione cubica|funzione]] <math>y=3x^3-8x^2+5x+1</math>:
* :<math>f '(x)= 9x3x^ 23- 16x8x^2+5x+ 51</math> ▼questo tipo di studio fornisce le seguenti indicazioni.
* La funzione può essere definita su tutto <math>\mathbb{R}</math>, dove risulta continua e derivabile con continuità infinite volte.
=== Determinazione dell'insieme di definizione ===
* La funzione è illimitata sia inferiormente che superiormente, ovvero non ha né minimi assoluti né massimi assoluti.
La funzione esiste in tutto <math>\R</math>.
* La funzione non possiede asintoti orizzontali, verticali, né obliqui.
* Il suo grafico presenta una simmetria centrale rispetto al punto <math>P\equiv(x_0,f(x_0))</math> con <math>x_0=\frac{8}{9}</math>, simmetria che negli esercizi viene usualmente tralasciata.
=== Simmetrie e periodicità ===
* La funzione non presenta particolariè simmetrieperiodica.
* Si ha <math>f '''( x0)= 181</math> .▼
* Lo studio del segno indica che la funzione
=== Intersezioni con gli assi ===
** assume valori negativi su <math>]-\infty,x_1[</math>;
La funzione interseca l'asse x nel punto di coordinate <math>(0;f(0))</math> ovvero (0;1). Essa inoltre interseca l'asse delle y nel punto (-0.16;0) (il secondo risultato è ottenuto tramite approssimazione).
** si annulla in <math>x_1=\frac{1}{9}\left(8-19\sqrt[3]{\frac{2}{299-27\sqrt{85}}}-\sqrt[3]{\frac{299-27\sqrt{85}}{2}}\right)\approx-0,1578</math>;
** assume valori positivi su <math>]x_1,+\infty[</math>.
=== Segno della funzione ===
* Lo studio della derivata prima indica che la funzione
Per sapere il segno della funzione, in questo caso, avendo solo uno zero, basta sostituire un'ascissa maggiore ed un'ascissa minore dello zero per accorgersi che a sinistra di esso la funzione è negativa, a destra positiva.
** è crescente su <math>]-\infty,x_2[</math>
La** funzioneha presentaun quindimassimo due punti stazionarirelativo in <math> x_1x_2= x_P-\frac{ 8-\ sqrt19sqrt{19}}{9}</math> , econ <math> f(x_2 )= y_P+\frac{ 8+38\ sqrt19sqrt{19}}{ 9243}</math> .▼=== Calcolo dei limiti ===
** è decrescente su <math>]x_2,x_3[</math>
La funzione non ha punti in cui non è definita quindi ci basta calcolare il limite per <math>x \rightarrow \pm \infty</math>:
** ha un minimo relativo in <math>x_3=x_P+\frac{\sqrt{19}}{9}</math>, con <math>f(x_3)=y_P-\frac{38\sqrt{19}}{243}</math>
* <math>\lim_{x\rightarrow +\infty}3x^3-8x^2+5x+1=+\infty</math>
** è crescente su <math>\lim_{x\rightarrow -\infty}3x^3-8x^2+5x]x_3,+1=-\infty]</math>
* Lo studio della derivata seconda indica che la funzione
** è convessa su <math>]-\infty,x_0[</math>
=== Continuità/Discontinuità della funzione ===
La** funzioneha èun continuapunto di flesso in tutto <math>\Rx_0=x_P</math> come si vede anche dal dominio.
** è concava su <math>]x_0,+\infty[</math>
Non è necessario calcolare derivate di ordine superiore per poter rappresentare, con buona approssimazione, il seguente grafico
=== Individuazione degli asintoti ===
Poiché la funzione ha due limiti con tendenza all'infinito positiva e negativa uguali ad infinito di segno opposto, possiamo dire che essa può essere caratterizzata da due asintoti obliqui, applichiamo quindi le altre due condizioni per ottenere le equazioni di essi
* <math>\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3x^3-8x^2+5x+1}{x}=+\infty</math>
Ci possiamo anche fermare qui dicendo che la funzione non presenta asintoti.
=== Derivata prima ===
▲* <math>f'(x)=9x^2-16x+5</math>
Studiamo ora il segno della funzione derivata prima:
* <math>9x^2-16x+5>0</math>
Ne consegue che:
* <math>f'(x)>0\ \forall x\in \left( -\infty;\frac{8-\sqrt19}{9}\right) \cup \left(\frac{8+\sqrt19}{9};+\infty\right)</math>
▲La funzione presenta quindi due punti stazionari in <math>x_1=\frac{8-\sqrt19}{9}</math> e <math>x_2=\frac{8+\sqrt19}{9}</math>.
Possiamo dire, inoltre, che la funzione è crescente da <math>-\infty</math> a <math>\frac{8-\sqrt19}{9}</math>, decrescente da <math>\frac{8-\sqrt19}{9}</math> a <math>\frac{8+\sqrt19}{9}</math> e nuovamente crescente da <math>\frac{8+\sqrt19}{9}</math> a <math>+\infty</math>, ragion per cui è possibile affermare che:
* <math>x_1=\frac{8-\sqrt19}{9}</math> rappresenta l'ascissa di un [[punto di massimo]] relativo;
* <math>x_2=\frac{8+\sqrt19}{9}</math> rappresenta l'ascissa di un [[punto di minimo]] relativo.
=== Derivata seconda ===
Studiamo ora il segno della derivata seconda:
* <math>f''(x)=18x-16</math>
* <math>18x-16>0</math>
* <math>x>\frac{8}{9}</math>
Quindi nel punto stazionario <math>x_1=\frac{8-\sqrt19}{9}<\frac{16}{18}</math> la concavità è verso il basso, ci troviamo allora in un [[punto di massimo]] relativo.
Invece nel punto stazionario <math>x_2=\frac{8+\sqrt19}{9}>\frac{16}{18}</math> la concavità è verso l'alto, ci troviamo in un [[punto di minimo]] relativo.
La funzione derivata seconda si annulla in <math>x=\frac{8}{9}</math>, qui abbiamo allora un punto di flesso obliquo (perché non corrisponde con un punto stazionario).
=== Derivata terza ===
Calcoliamo la derivata terza per sapere se la curva passa sopra o sotto la derivata nel punto di flesso:
▲* <math>f'''(x)=18</math>
Quindi <math>f'''(x)>0</math> il flesso è ascendente.
=== Grafico ===
Si può quindi disegnare un grafico in questo modo:
[[File:Function y = 3·x^3 - 8·x^2 + 5·x + 1.jpg|4000x500px|thumb|none|Grafico funzione esempio <math>y=3x^3-8x^2+5x+1</math>]]
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