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Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali: differenze tra le versioni

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Le richieste delle scuole superiori si fermano solitamente qua, anche se è possibile cercare ulteriori informazioni sulla funzione.
 
==== Simmetrie =e traslazioni ===
Come già indicato, non solo le simmetrie considerate ma ogni simmetria (centrale o assiale rispetto a rette parallele all'asse delle ascisse) del grafico permette di ricostruire l'intero grafico a partire da una sola parte.
Se una funzione non presenta simmetrie rispetto all'asse <math> y </math> e all'origine degli assi <math> O (0,0) </math>, non è detto che non possa esser simmetrica rispetto a qualche altra retta o punto particolare. Per 'indovinare' la retta od il punto rispetto al quale è simmetrica la funzione, occorre riconsiderare tutti gli elementi fin qui trovati (punti d'intersezione, segno, limiti, crescenza, punti estremanti, concavità, punti di flesso, etc..): se essi sono tutti simmetrici rispetto ad una qualche retta o punto particolare, allora è ''probabile'' che la funzione presenti una simmetria. Pertanto:
In particolare, si hanno
* un insieme di definizione simmetrico
* un insieme di continuità simmetrico
* punti di non continuità (e loro classificazione) simmetrici
* eventuali asintoti simmetrici
* un insieme di zeri simmetrico
* insiemi di positività e di negatività simmetrici
* un insieme di derivabilità simmetrico
* punti di non derivabilità (e loro classificazione) simmetrici
* punti stazionari (e loro classificazione) simmetrici
* insiemi di crescenza e di decrescenza simmetrici
* un insieme di doppia derivabilità simmetrico
* insiemi di convessità e di concavità simmetrici
 
Inoltre, non solo le invarianze per traslazione considerate (periodicità) ma tutte le invarianze per traslazione (<math>f(x+t)=f(x)+s</math>) del grafico permettono di ricostruire l'intero grafico a partire da una sola parte
* se si rileva che la funzione possa esser simmetrica rispetto a una retta <math> x = h </math>, allora si procede alla verifica che <math> f(h-x)=f(h+x) </math> per ogni <math> x </math> del dominio. In caso affermativo, la funzione ha come asse di simmetria la retta <math> x=h </math>. Sarà dunque sufficiente disegnare il grafico a destra della retta e ribaltarlo alla sua sinistra (facendo corrispondere ad ascisse equidistanti da <math> x=h </math> ordinate uguali).
In particolare, si hanno
* un insieme di definizione periodico
* un insieme di continuità periodico
* punti di non continuità (e loro classificazione) periodici
* eventuali asintoti invarianti per detta traslazione
* un insieme di derivabilità periodico
* punti di non derivabilità (e loro classificazione) periodici
* punti stazionari (e loro classificazione) periodici
* insiemi di crescenza e di decrescenza periodici
* un insieme di doppia derivabilità periodico
* insiemi di convessità e di concavità periodici
 
==== Punti significativi ====▼
* se si rileva che la funzione possa esser simmetrica rispetto a un punto generico <math> P(x_p,y_p) </math>, allora si procede alla verifica che <math> f(x_p+x)-y_p=y_p-f(x_p-x) </math> per ogni <math> x </math> del dominio. In caso affermativo, la funzione ha come centro di simmetria il punto <math> P(x_p,y_p) </math>. Sarà dunque sufficiente disegnare il grafico nel semipiano a destra del punto e ruotarlo di un angolo piatto nel semipiano a sinistra (facendo corrispondere ad ascisse equidistanti da <math> x=x_p </math> ordinate equidistanti da <math> y=y_p </math>)
Per individuare alcuni punti "a caso" del grafico della funzione è sufficiente ricordarne l'equazione di definizione <math>y=f(x)</math> per costruire eventuali punti ausiliari <math>P\equiv(x_0,f(x_0))</math>
** nel caso particolare in cui <math> P </math> abbia ordinata nulla (ovvero sia un punto che si trova sull'asse <math> x </math>), è sufficiente che <math> f(x_p+x)=-f(x_p-x) </math> per ogni <math> x </math> del dominio affinché <math> P(x_p,0) </math> sia centro di simmetria per la funzione.
** nel caso particolare in cui <math> P </math> abbia ascissa nulla (ovvero sia un punto che si trova sull'asse <math> y </math>), è sufficiente che <math> f(x)-y_p=y_p-f(-x) </math> per ogni <math> x </math> del dominio affinché <math> P(0,y_p) </math> sia centro di simmetria per la funzione.
 
▲==== Punti significativi ====
Un altro accorgimento può essere quello di individuare le coordinate di alcuni punti della funzione: presa un'ascissa <math> x_0 </math>, la si sostituisce nella variabile indipendente della funzione e si ottiene l'ordinata <math> y_0 </math> corrispondente.
 
== Esempio ==
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