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Il grafico della funzione avrà dunque <math>y=f(x)>0</math> negli insiemi di positività e <math>y=f(x)<0</math> negli intervalli di negatività.
=== Monotonìa (Derivata prima) ===
Per studiare l'andamento della funzione si può quindi cercare di determinarne la derivabilità e di cercare un'espressione esplicita per la [[derivata]].
A questo punto si effettua il calcolo della [[derivata]] della funzione per studiarne la crescenza e stabilire l'esistenza di eventuali punti estremanti, ed altri punti particolari. Tramite lo studio del segno della derivata si è in grado di individuare eventuali punti di massimo o di minimo. Basti pensare che, essendo la derivata prima il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione, esso sarà maggiore di zero, quando la funzione cresce, e minore di zero quando questa decresce (immaginarsi la retta tangente nei vari punti della funzione).
Come per la continuità, in molti esercizi assegnati lo studio della derivabilità (e della continuità della derivata) di una funzione si riduce allo studio in alcuni punti.
Per individuare gli intervalli in cui la funzione è crescente (e decrescente), si studia il segno della ''funzione derivata'' in modo da individuare per quali valori di ''x'' essa è positiva, negativa o nulla.
* dove <math>f</math> è derivabile e <math>f '(x) > 0</math>, <math> f</math> è strettamente [[Funzione crescente|crescente]],
* dove <math>f</math> è derivabile e <math>f '(x) < 0</math>, <math> f</math> è strettamente [[Funzione decrescente|decrescente]],
* dove <math>f</math> è derivabile e <math>f '(x) = 0</math>, <math> f </math> ha in ''x'' un [[punto stazionario]] (dove <math>f</math> ha la tangente parallela all'asse <math>x</math>).
Lo studio della derivata <math>f'</math> segue la falsariga dello studio della funzione <math>f</math> sopra indicato, una volta determinata (tramite le usuali tecniche di derivazione) un'espressione esplicita <math>f'(x)</math>.
==== Punti estremanti ====
{{Vedi anche|Punto estremante}}
Per verificare che un punto <math>x_0</math> del dominio sia [[Punto estremante|estremante]], deve succedere che la funzione derivata cambi segno da un intorno sinistro a un intorno destro di <math>x_0</math>.
In particolare, considerato un reale <math>d</math> arbitrariamente piccolo:
* L'insieme di definizione di <math>f'</math> corrisponde all'insieme di derivabilità di <math>f</math>
* se <math> f'(x) \left\{\begin{matrix}
* L'insieme di continuità di <math>f'</math> corrisponde all'insieme di continua derivabilità di <math>f</math>
<0, & \mbox{per }x\in (x_0 - d,x_0) \\
>0, & \mbox{per }x\in (x_0, x_0 + d)
\end{matrix}\right.</math>
allora in <math> x_0 </math> la funzione presenta punto di minimo.
Per indicare un minimo si usa la notazione <math> m (x_0 , f(x_0) ) </math>.
Un minimo si dice assoluto se è il più piccolo valore che può assumere la funzione - cioè se è verificato <math> f(x) \geq f(x_m)</math> per ogni <math> x </math> del dominio -, altrimenti si dice relativo.
Come per i punti di discontinuità di <math>f</math>, anche alcuni punti di discontinuità di <math>f'</math> possono essere classificati, individuando in particolare [[punto angoloso|punti angolosi]], [[cuspide|cuspidi]], [[flesso|flessi]].
* se <math> f'(x) \left\{\begin{matrix}
>0, & \mbox{per }x\in (x_0 - d,x_0) \\
<0, & \mbox{per }x\in (x_0, x_0 + d)
\end{matrix}\right.</math>
allora in <math> x_0 </math> la funzione presenta punto di massimo
Per indicare un massimo si usa la notazione <math> M (x_0 , f(x_0) ) \! </math>.
Un massimo si dice assoluto se è il più grande valore che può assumere la funzione - cioè se è verificato <math> f(x) \leq f(x_M)</math> per ogni <math> x </math> del dominio -, altrimenti si dice relativo.
I punti estremanti sono da cercare tra diversi insiemi di punti di una funzione: i [[Punto stazionario|punti stazionari]], gli estremi del dominio, i [[Punto di discontinuità|punti di discontinuità]] ed i punti di non derivabilità. Una volta rilevati tutti questi potenziali punti estremanti, per ognuno di essi si verifica se il segno della derivata prima cambi dall'intorno sinistro a quello destro. In caso affermativo, il punto è estremante.
* I punti dove si annulla <math>f'</math> sono i [[punto stazionario|punti stazionari]] di <math>f</math>
* Se <math>f'</math> si annulla su tutto un intervallo, in quell'intervallo la funzione è costante e si ha un ''plateau''
* Gli insiemi di positività (o di negatività) di <math>f'</math> sono insiemi in cui <math>f</math> è monotòna crescente (o decrescente)
Una funzione <math>f</math> può essere strettamente crescente in un intervallo anche se in quell'intervallo la sua derivata <math>f'</math> non è definita, o se è definita e si annulla.
==== Punti angolosi, cuspidi e flessi ====
Lo studio della derivata prima permette di verificare la presenza di altri punti particolari: i punti angolosi, le cuspidi ed i flessi (orizzontali e verticali)
Ad esempio, la funzione <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definita da
* se la derivata sinistra e la derivata destra di <math> f </math> in un punto <math> x_0 </math> del dominio esistono ma sono diverse, allora la funzione presenta in <math> x_0 </math> un '''[[punto angoloso]]'''.
:<math>f(x)=\begin{cases}x&x<0\\x+1&x\geqslant0\end{cases}</math>
è strettamente crescente su tutto il dominio, ma non è continua (tantomeno derivabile) in 0
Oppure, la funzione <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definita da
* un caso particolare di punto angoloso è la [[Cuspide (matematica)|cuspide]]: se la derivata sinistra e la derivata destra di <math> f </math> in un punto <math> x_0 </math> del dominio sono infinite ma di segno opposto, allora la funzione presenta in <math> x_0 </math> una cuspide. In particolare, la funzione ha in <math> x_0 </math> una:
:<math>f(x)=x^3</math>
** '''cuspide rivolta verso il basso''' se <math> f'_-(x_0) = -\infty \wedge f'_+(x_0) = +\infty </math>
**è '''cuspidestrettamente rivoltacrescente versosu l'alto'''tutto il dominio, anche se <math> f'_-(x_00) = +\infty \wedge f'_+(x_0) = -\infty 0</math>.
=== Massimi e minimi ===
* se in un intorno completo di un punto stazionario <math> x_0 </math> la funzione ha segno costante, allora la funzione presenta in <math> x_0 </math> un [[punto di flesso]] orizzontale. In particolare, la funzione ha in <math> x_0 </math> un:
{{Vedi anche|Massimo e minimo di una funzione}}
** '''flesso ascendente orizzontale''' se <math> f'(x)>0 : x \in (x_0 - d, x_0 + d)-{x_0} </math>
I punti stazionari possono essere punti di massimo relativo, di minimo relativo, o di flesso, a seconda del segno della derivata in un intorno del punto:
** '''flesso discendente orizzontale''' se <math> f'(x)<0 : x \in (x_0 - d, x_0 + d)-{x_0} </math>
* se la funzione è ''prima'' crescente e ''dopo'' decrescente, si ha un punto di massimo relativo (o ''locale'')
* se la funzione è ''prima'' decrescente e ''dopo'' crescente, si ha un punto di minimo relativo (o ''locale'')
Se la funzione ha un ''plateau'', ovvero se si annulla in tutto un intervallo, tutti i punti di quell'intervallo possono essere minimi locali o massimi locali.
Una funzione può avere anche massimi o minimi relativi in punti nei quali la derivata non sia definita.
* se in un punto <math> x_0 </math> del dominio la funzione derivata non è definita ma la derivata sinistra e la derivata destra sono infinite dello stesso segno, allora la funzione presenta in <math> x_0 </math> un [[punto di flesso]] verticale. In particolare, la funzione ha in <math> x_0 </math> un:
Ad esempio la funzione <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definita da <math>f(x)=|x|</math> ha un minimo relativo in 0.
** '''flesso ascendente verticale''' se <math> f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = +\infty </math>
** '''flesso discendente verticale''' se <math> f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = -\infty </math>
I massimi e i minimi ''assoluti'' di una funzione, se esistono, si trovano tra i punti di massimo e minimo relativo o sulla frontiera dell'insieme di continuità della funzione. Per determinarli è sufficiente calcolare i valori assunti dalla funzione in questi punti.
=== Concavità (Derivata seconda) === ▼Successivamente si effettua lo studio della derivata seconda in modo da valutare se esistono punti di flesso (punti dove la derivata seconda si annulla) e valutare, quindi, grazie alla possibilità che essa ci dà di studiare la concavità, se i punti stazionari trovati con la derivata prima sono [[massimo e minimo di una funzione|massimi]], [[massimo e minimo di una funzione|minimi]] di funzione o punti di flesso a tangente orizzontale.
▲=== Concavità (Derivata seconda ) ===
==== Relazione con derivata prima ====
Si può procedere con la derivata seconda della funzione come già per la derivata prima.
Se <math>f'(x)</math> è derivabile in <math> x </math>:
* se <math>f''(x)>0</math> allora <math>f</math> presenta una concavità verso l'alto in ''x'', ▼In particolare
* se <math>f''(x)<0</math> allora <math>f</math> presenta una concavità verso il basso in ''x'', ▼* Nei punti in cui <math>f''(x)=0</math> si possono avere punti di massimo relativo, di minimo relativo, o di flesso
* se <math>f''(x)=0</math> allora <math>x</math> è possibile sia un punto di [[flesso]]. In questo caso occorre valutare le derivate successive oppure il segno della derivata seconda nell'intorno del punto.
▲* seNegli intervalli in cui <math>f''(x)>0</math> allorala funzione <math>f</math> presentaè unaconcava concavità("rivolta verso l'alto in ''x'',")
▲* seNegli intervalli in cui <math>f''(x)<0</math> allorala funzione <math>f</math> presentaè unaconvessa concavità("rivolta verso il basso in ''x'',")
=== Derivata terza ===
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