Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
→Relazione con derivata seconda: penso sia prima |
m Bot: Fix tag <math> |
||
Riga 12:
In particolare conviene porre l'attenzione alle seguenti evenienze:
*le [[funzione razionale|funzioni fratte]] non esistono nei punti dove il [[denominatore]] si annulla (condizioni di esistenza o "c.e.": se <math>f(x) = {g(x) \over h(x)}</math>, allora <math>h(x) \ne 0</math> );
*le funzioni sotto [[radice (matematica)|radice]] di indice pari devono essere poste maggiori o tuttalpiù uguali a zero, mentre quelle a indice di radice dispari esistono in tutto R (c.e.: se <math>f(x) = \sqrt[n]{g(x)}</math>, allora <math>g(x) \ge 0</math> se e solo se <math>n
*le funzioni [[logaritmo|logaritmiche]] accettano solo un argomento strettamente maggiore di zero (c.e.: se <math>f(x) = \log_a (g(x))
*le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]], eccetto [[seno (matematica)|seno]] e [[coseno]], non esistono in determinati multipli di <math>\pi</math> o <math>\pi/2</math> (c.e.: se ad esempio <math>f(x) = \tan (g(x))
=== Simmetrie e periodicità ===
Riga 31:
Per determinarle si opererà come segue:
*'''intersezioni con l'asse ''x'':''' sono gli zeri della funzione, ovvero i punti di coordinate <math>(x,0)</math> dove <math>x</math> è soluzione dell'equazione <math>f(x) = 0
**l'equazione non ha soluzioni: il grafico della funzione non interseca l'asse ''x'';
**l'equazione presenta una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni: il grafico ha un numero finito di punti di intersezione con l'asse ''x'';
**l'equazione ha infinite soluzioni: il grafico della funzione ha infiniti punti di intersezione con l'asse ''x''.
*'''intersezione con l'asse ''y'':''' l'intersezione con l'asse ''y'' esiste solamente se lo [[zero|0]] (zero) appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione è unica per definizione stessa di una funzione, e sarà il punto di coordinate <math>(0,f(0))
=== Segno della funzione ===
Riga 56:
=== Individuazione degli asintoti ===
Con il calcolo dei limiti si è in grado di individuare anche l'esistenza di eventuali [[asintoto|asintoti]] sia verticali, orizzontali che obliqui:
*'''[[Asintoto#Asintoto verticale|Asintoto verticale]]''': è la retta di equazione <math>x=c
*'''[[Asintoto#Asintoto orizzontale|Asintoto orizzontale]]''': è la retta di equazione <math>y=l
*'''[[Asintoto obliquo]]''': è la retta di equazione <math>y=mx+q
**<math>\lim_{x \to \pm \infty}f(x)= \pm \infty,</math>
**<math>\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}= m; \mbox{ con } m \ne \pm \infty,\mbox{ e con } m\ne 0 </math>
Riga 87:
==== Andamento ====
Per individuare gli intervalli in cui la funzione è crescente (e decrescente), si studia il segno della ''funzione derivata'' in modo da individuare per quali valori di ''x'' essa è positiva, negativa o nulla.
*dove <math>f</math> è derivabile e <math>f '(x) > 0
*dove <math>f</math> è derivabile e <math>f '(x) < 0
*dove <math>f</math> è derivabile e <math>f '(x) = 0
==== Punti estremanti ====
Riga 101:
\end{matrix}\right.</math>
allora in <math> x_0 </math> la funzione presenta punto di minimo.
Per indicare un minimo si usa la notazione <math> m (x_0 , f(x_0) )
Un minimo si dice assoluto se è il più piccolo valore che può assumere la funzione - cioè se è verificato <math> f(x) \geq f(x_m)
* se <math> f'(x) \left\{\begin{matrix}
Riga 110:
allora in <math> x_0 </math> la funzione presenta punto di massimo
Per indicare un massimo si usa la notazione <math> M (x_0 , f(x_0) ) \! </math>.
Un massimo si dice assoluto se è il più grande valore che può assumere la funzione - cioè se è verificato <math> f(x) \leq f(x_M)
I punti estremanti sono da cercare tra diversi insiemi di punti di una funzione: i [[Punto stazionario|punti stazionari]], gli estremi del dominio, i [[Punto di discontinuità|punti di discontinuità]] ed i punti di non derivabilità. Una volta rilevati tutti questi potenziali punti estremanti, per ognuno di essi si verifica se il segno della derivata prima cambi dall'intorno sinistro a quello destro. In caso affermativo, il punto è estremante.
Riga 135:
==== Relazione con derivata prima ====
Se <math>f'(x)
*se <math>f''(x)>0
*se <math>f''(x)<0
*se <math>f''(x)=0
=== Derivata terza ===
Nel caso in cui <math>f''(x)=0
*se <math>f'''(x)>0
*se <math>f'''(x)<0
*se <math>f'''(x)=0
**se la prima derivata che non si annulla è di ordine pari:
**:<math>f^{ pari}(x) \ne 0
**se la prima derivata che non si annulla è di ordine dispari:
**:<math>f^{ dispari}(x)>0
**:<math>f^{ dispari}(x)<0
=== Complementi ===
Riga 167:
== Esempio ==
Effettuiamo ora lo studio della [[Funzione cubica|funzione]] <math>y=3x^3-8x^2+5x+1
=== Determinazione dell'insieme di definizione ===
Riga 195:
=== Derivata prima ===
*<math>f'(x)=9x^2-16x+5
Studiamo ora il segno della funzione derivata prima:
*<math>9x^2-16x+5>0
Ne consegue che:
*<math>f'(x)>0\ \forall x\in \left( -\infty;\frac{8-\sqrt19}{9}\right) \cup \left(\frac{8+\sqrt19}{9};+\infty\right)</math>
Riga 210:
=== Derivata seconda ===
Studiamo ora il segno della derivata seconda:
*<math>f''(x)=18x-16
*<math>18x-16>0
*<math>x>\frac{8}{9}</math>
Quindi nel punto stazionario <math>x_1=\frac{8-\sqrt19}{9}<\frac{16}{18}</math> la concavità è verso il basso, ci troviamo allora in un [[punto di massimo]] relativo.
Riga 221:
=== Derivata terza ===
Calcoliamo la derivata terza per sapere se la curva passa sopra o sotto la derivata nel punto di flesso:
*<math>f'''(x)=18
Quindi <math>f'''(x)>0
=== Grafico ===
Si può quindi disegnare un grafico in questo modo:
[[Immagine:Function y = 3·x^3 - 8·x^2 + 5·x + 1.jpg|4000x500px|thumb|none|Grafico funzione esempio <math>y=3x^3-8x^2+5x+1
{{Analisi matematica}}
| |||