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(aggiunto esercizio 21)
 
 
===7. Sbarra sospesa===
===21. Una trasformazione irreversibile===
[[Immagine:Sbarrasospesa.png|250px|right]]
Una sbarretta di massa <math>M\ </math> è sospesa agli estremi da due molle eguali di costante elastica <math>k\ </math> che a causa della sospensione della sbarretta sono di lunghezza <math>\ell\ </math>. Un piccolo oggetto di massa <math>m\ </math> cade dall'alto da altezza <math>h\ </math> e rimbalza in maniera elastica nel centro della sbarretta. Determinare a) la lunghezza a riposo delle due molle; b) la velocità di impatto e di rimbalzo dell'oggetto di massa <math>m\ </math>; c) la altezza a cui rimbalza; d) la velocità della sbarra subito dopo l'urto e la sua ampiezza di oscillazione.
 
(dati del problema <math>M=4\ kg\ </math>, <math>k=2000\ N/m\ </math>, <math>\ell=20\ cm\ </math>, <math>m=300\ g\ </math>, <math>h=50\ cm\ </math>)
Una mole di gas ideale monoatomico inizialmente alla temperatura <math>T_0\ </math> è contenuta in un cilindro di volume <math>V_0\ </math> e subisce una compressione adiabatica reversibile da portarlo a un volume finale <math>V_f=V_0/3\ </math> e a una temperatura finale <math>T_f\ </math>. In queste condizioni, il gas è posto a contatto con una sorgente alla temperatura <math>T_0\ </math> alla quale si riporta mantenendo costante il volume del gas <math>V_f\ </math>.
Si calcoli:
 
<span class="noprint">[[#217. UnaSbarra trasformazione irreversibile_2sospesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
a) La temperatura <math>T_f\ </math> del gas e il lavoro da esso subito durante la compressione adiabatica reversibile;
 
b) La variazione totale di energia interna del gas;
 
c) La variazione di entropia dell’universo termodinamico.
 
(Dati del problema: <math>T_0=300\ K\ </math>)
 
<span class="noprint">[[#21. Una trasformazione irreversibile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
== Soluzioni ==
 
===7. Sbarra sospesa===
===21. Una trasformazione irreversibile===
<span class="noprint">[[#217. UnaSbarra trasformazione irreversibilesospesa|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
 
Imponendo che la sbarra sia inizialmente in equilibrio:
La temperatura alla quale si porta il gas al termine della compressione adiabatica si ricava da:
:<math>T_0V_0^{2k(\gammaell-1}=T_fV_f^{\gammaell_o)-1}Mg=0\ </math>
segue che:
con <math>\gamma-1=0.66\ </math> essendo il gas monoatomico. Quindi:
:<math>T_f\ell_o=T_0\left(ell-\frac {V_0Mg}{V_f}\right)^{\gamma -12k}=624.519\ Kcm\ </math>
Il lavoro eseguito sul gas per comprimerlo è:
:<math>W_{AB}=-nc_v(T_f-T_0)=-n\frac 32R(T_f-T_0)=-4\ kJ\ </math>
 
b)
 
La velocità di impatto si ricava dalla conservazione della energia:
La variazione totale di energia interna del gas è nulla ritornando il gas alla stessa temperatura di partenza.
:<math>mgh=\frac 12mv_o^2\ </math>
:<math>Q_v_o=\sqrt{BC2gh}=nc_v(T_f-T_0)=43.13\ kJm/s\ </math>
Nell'urto si conserva la quantità di moto:
:<math>mv_o=mv_f+MV_f\rightarrow m(v_o-v_f)=MV_f\ </math>
dove <math>v_f\ </math> e <math>V_f\ </math> sono la velocità del punto materiale e della sbarra.
Ma si conserva anche l'energia:
:<math>\frac 12mv_o^2=\frac 12mv_f^2+\frac 12MV_f^2\rightarrow m(v_o-v_f)(v_o+v_f)=MV_f^2\ </math>
Combinando le due equazioni:
:<math>v_o+v_f=V_f\ </math>
Che sostituita nella prima:
:<math> m(v_o-v_f)=M(v_o+v_f)\rightarrow (M+m)v_f=(m-M)v_o\ </math>
:<math>\Delta S_{sorgente}v_f=\frac {Q_{BC}m-M} {T_0m+M}v_o=13-2.57\ Jm/Ks\ </math>
 
c)
 
Quindi dopo l'urto il punto materiale rimbalza ad una altezza:
Per il calcolo della variazione di entropia dell’universo termodinamico, bisogna tenere in conto quella relativa al gas e quella relativa alla sorgente di calore alla temperatura <math>T_0\ </math>. Per la prima, durante la isocora, si ha:
:<math>\Delta S_{gas}mgh_f=nc_v\log \frac {T_0}{T_f}=-9.13\ J/K12mv_f^2\ </math>
:<math>h_f=\frac {v_f^2}{2g}=0.36\ m\ </math>
Mentre nella sorgente durante la trasformazione BC entra una quantità di calore pari a:
 
:<math>Q_{BC}=nc_v(T_f-T_0)=4\ kJ\ </math>
d)
Quindi:
 
:<math>\Delta S_{sorgente}=\frac {Q_{BC}}{T_0}=13.5\ J/K\ </math>
Dalla conservazione della quantità di moto:
La variazione di entropia dell'universo termodinamico è:
:<math>\Delta S_UV_f=\Delta S_{gas}+\Deltafrac S_{sorgente}mM(v_o-v_f)=40.3444\ Jm/Ks\ </math>
Quindi oscillando tutta la sua energia cinetica diventa energia potenziale (attorno ad <math>\ell\ </math>) di ampiezza (le molle sono due):
:<math>\frac 12MV_f^2= kx_a^2\ </math>
:<math>x_a=V_f\sqrt{\frac M{2k}}=0.014\ m\ </math>