Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Quantità di moto"

aggiunto esercizio 7
(aggiunto esercizio 7)
 
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===7. Sbarra sospesa===
[[Immagine:Sbarrasospesa.png|250px|right]]
Una sbarretta di massa <math>M\ </math> è sospesa agli estremi da due molle eguali di costante elastica <math>k\ </math> che a causa della sospensione della sbarretta sono di lunghezza <math>\ell\ </math>. Un piccolo oggetto di massa <math>m\ </math> cade dall'alto da altezza <math>h\ </math> e rimbalza in maniera elastica nel centro della sbarretta. Determinare a) la lunghezza a riposo delle due molle; b) la velocità di impatto e di rimbalzo dell'oggetto di massa <math>m\ </math>; c) la altezza a cui rimbalza; d) la velocità della sbarra subito dopo l'urto e la sua ampiezza di oscillazione.
 
(dati del problema <math>M=4\ kg\ </math>, <math>k=2000\ N/m\ </math>, <math>\ell=20\ cm\ </math>, <math>m=300\ g\ </math>, <math>h=50\ cm\ </math>)
 
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== Soluzioni ==
:<math>m\frac {v_{max}^2}l=T_{max}-mg\quad {\rm e} \quad T_{max}=m\left( g+\frac {v_{max}^2}l\right )=3\, mg =588\ {\rm N}\ </math>
 
===7. Sbarra sospesa===
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a)
 
Imponendo che la sbarra sia inizialmente in equilibrio:
:<math>2k(\ell-\ell_o)-Mg=0\ </math>
segue che:
:<math>\ell_o=\ell-\frac {Mg}{2k}=19\ cm\ </math>
 
b)
 
La velocità di impatto si ricava dalla conservazione della energia:
:<math>mgh=\frac 12mv_o^2\ </math>
:<math>v_o=\sqrt{2gh}=3.13\ m/s\ </math>
Nell'urto si conserva la quantità di moto:
:<math>mv_o=mv_f+MV_f\rightarrow m(v_o-v_f)=MV_f\ </math>
dove <math>v_f\ </math> e <math>V_f\ </math> sono la velocità del punto materiale e della sbarra.
Ma si conserva anche l'energia:
:<math>\frac 12mv_o^2=\frac 12mv_f^2+\frac 12MV_f^2\rightarrow m(v_o-v_f)(v_o+v_f)=MV_f^2\ </math>
Combinando le due equazioni:
:<math>v_o+v_f=V_f\ </math>
Che sostituita nella prima:
:<math> m(v_o-v_f)=M(v_o+v_f)\rightarrow (M+m)v_f=(m-M)v_o\ </math>
:<math>v_f=\frac {m-M} {m+M}v_o=-2.7\ m/s\ </math>
 
c)
 
Quindi dopo l'urto il punto materiale rimbalza ad una altezza:
:<math>mgh_f=\frac 12mv_f^2\ </math>
:<math>h_f=\frac {v_f^2}{2g}=0.36\ m\ </math>
 
d)
 
Dalla conservazione della quantità di moto:
:<math>V_f=\frac mM(v_o-v_f)=0.44\ m/s\ </math>
Quindi oscillando tutta la sua energia cinetica diventa energia potenziale (attorno ad <math>\ell\ </math>) di ampiezza (le molle sono due):
:<math>\frac 12MV_f^2= kx_a^2\ </math>
:<math>x_a=V_f\sqrt{\frac M{2k}}=0.014\ m\ </math>
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Quantità di moto]]