Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica"

aggiunto esercizio 21
(aggiunto esercizio 21)
 
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===21. Condensatori su due rami===
[[Immagine:Condensatori su due rami.png|350px|right]]
Nel circuito mostrato in figura
determinare: a) la carica sui condensatori con l'interruttore aperto a regime; b) la carica sui condensatori con l'interruttore chiuso a regime; c) se dopo essere stato chiuso a lungo l'interruttore viene aperto, quali sono le cariche dei due condensatori quando è passato un tempo <math>t_x\ </math> dall'apertura ? d) nel transitorio, da b) ad a), trovare il tempo, <math>t_e\ </math>, per cui le correnti nei rami dei due condensatori sono eguali ed calcolarne il loro valore.
(Dati del problema <math>R_1=100\ \Omega\ </math>, <math>R_2=200\ \Omega\ </math>, <math>R_3=300\ \Omega\ </math>, <math>C_1=2\mu F\ </math>, <math>C_2=4\mu F\ </math>, <math>f=12\ V\ </math>, <math>t_x=0.5\ ms\ </math>).
 
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== Soluzioni ==
Nelle resistenze <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math> scorre la stessa corrente:
:<math>I_1=I_2=\frac I2\ </math>
 
Quindi:
:<math>P_{tot}=\sum_{i=1}^3RI_i^2=\frac 32 RI^2\ </math>
 
Quindi la massima corrente dipende dalla massima potenza dissipabile:
:<math>I=\sqrt {\frac {P_{max}}R}=10\ A</math>
 
<math>I=\sqrt {\frac {P_{max}}R}=10\ A</math>
 
quindi:
:<math>P_{tot}=\frac 32 P_{max}=150\ W</math>
 
<math>P_{tot}=\frac 32 P_{max}=150\ W</math>
 
 
 
Utilizzando il teorema di Thevenin il condensatore vede ai suoi capi un dipolo attivo con:
:<math>f_{th}=\frac f{R_1+R_2}R_2=750\ V</math>
 
<math>f_{th}=\frac f{R_1+R_2}R_2=750\ V</math>
 
ed un resistenza di Thevenin di:
:<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=3.75\ K\Omega\ </math>
 
<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=3.75\ K\Omega\ </math>
 
Quindi la costante di tempo di carica vale:
:<math>\tau =R_{th}C=0.0375\ s\ </math>
 
<math>\tau =R_{th}C=0.0375\ s\ </math>
 
Quindi dopo <math>t_1\ </math> la tensione ai capi del condensatore vale:
:<math>V=\frac QC=f_{th}\left( 1- e^{-t_1/\tau} \right)=310\ V\ </math>
 
<math>V=\frac QC=f_{th}\left( 1- e^{-t_1/\tau} \right)=310\ V\ </math>
 
===7. Due generatori di f.e.m. ===
 
Dalle legge di Kirchhoff applicate al nodo:
:<math>I_1+I_2=I\ </math>
 
<math>I_1+I_2=I\ </math>
 
Dalle legge di Kirchhoff applicate alle due maglie:
:<math>f_2f_1=I_2r_2I_1r_1+IR\ </math>
 
:<math>f_1f_2=I_1r_1I_2r_2+IR\ </math>
 
<math>f_2=I_2r_2+IR\ </math>
 
Eliminando <math>I_1\ </math> e <math>I_2\ </math> nel sistema:
:<math>I(R/r_1+R/r_2+1)= \frac {f_1}{r_1}+\frac {f_2}{r_2}\ </math>
 
:da cui:
<math>I(R/r_1+R/r_2+1)= \frac {f_1}{r_1}+\frac {f_2}{r_2}\ </math>
 
da cui:
 
<math>I=1\ A</math>
:<math>f_1=I_1(t_2)R_1+I_3(t_2)R_3+V_C(t_2)\ </math>
:<math>I_1=[f_1-I_3(t_2)R_3-V_C(t_2)]/R_1=4.84\ A\ </math>
 
===21. Condensatori su due rami===
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a)
 
Con l'interruttore aperto a regime entrambi i condensatori hanno una differenza di potenziale ai capi pari a <math>f\ </math> per cui le loro cariche sono rispettivamente:
:<math>Q_{1a}=C_1f=24\ \mu C\ </math>
:<math>Q_{2a}=C_2f=48\ \mu C\ </math>
 
b)
 
Con l'interruttore chiuso a regime scorre nel circuito una corrente:
:<math>I_c=\frac f{R_3+R_2}=43\ mA\ </math>
quindi la carica del primo condensatore sarà pari a:
:<math>Q_{1c}=C_1I_cR_3=6.8\ \mu C\ </math>
mentre l'altro:
:<math>Q_{2c}=C_2I_cR_2=34\ \mu C\ </math>
 
c)
 
I due condensatori si caricano dalla carica iniziale a quella finale con due costanti di tempo diverse:
:<math>Q_1(t)=Q_{1a}+(Q_{1c}-Q_{1a})e^{-t/\tau_1}\ </math>
con <math>\tau_1=C_1(R_1+R_2)=0.6\ ms\ </math>.
Mentre la carica sull'altro condensatore è:
:<math>Q_2(t)=Q_{2a}+(Q_{2c}-Q_{2a})e^{-t/\tau_2}\ </math>
con <math>\tau_2=C_2(R_3)=0.8\ ms\ </math>.
Quindi:
:<math>Q_1(t_x)=16\ \mu C\ </math>
:<math>Q_2(t_x)=45\ \mu C\ </math>
 
d)
 
La corrente sul ramo del primo condensatore è:
:<math>I_1(t)=I_{10}e^{-t/\tau_1}\ </math>
con <math>I_{10}=(Q_{1a}-Q_{1c})/\tau_1=29\ mA\ </math>.
 
Mentre quella sul ramo del secondo condensatore è:
:<math>I_2(t)=I_{20}e^{-t/\tau_2}\ </math>
con <math>I_{20}=(Q_{2a}-Q_{2c})/\tau_2=43\ mA\ </math>.
 
Sono eguali per:
:<math>I_{10}e^{-t_e/\tau_1}=I_{20}e^{-t_e/\tau_2}\ </math>
:<math>t_e=log(I_{20}/I_{10})/(1/\tau_2-1/\tau_1)=0.28\ ms\ </math>
:<math>I_e=I_(10)e^{-t_e/\tau_1}=18\ mA\ </math>
 
 
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