Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss"

aggiunto esercizio 25
(aggiunto esercizio 25)
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===25. Guscio concentrico===
[[Immagine:Sferaisolanteguscio.png|300px|right]]
 
Una nuvola sferica isolante ha un raggio <math>R_1\ </math>, ha una densità di carica uniforme e una carica totale <math>3Q\ </math>. Concentrica con questa sfera vi è un guscio sferico metallico di raggio interno <math>R_2\ </math> e raggio esterno <math>R_3\ </math>, come mostrato in figura con una carica <math>-Q\ </math>.
 
Determinare: a) il campo a distanza <math>2R_3\ </math> dal centro;
b) la densità di carica nella superficie interna ed esterna del guscio sferico metallico; c) a che distanza dal centro il campo elettrico è massimo ed il suo valore;
 
d) la differenza di potenziale tra il guscio metallico e il centro.
 
(dati del problema <math>Q=4\ nC\ </math>, <math>R_1=1\ cm\ </math>, <math>R_2=5\ cm\ </math>, <math>R_3=6\ cm\ </math>)
 
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== Soluzioni ==
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{y^2+z^2-2[x+(R/2)]^2+[x+(R/2)]^2+z^2-2y^2+[x+(R/2)]^2+y^2-2z^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}=0
\ </math>
 
 
===25. Guscio concentrico===
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a)
 
La carica totale è pari:
:<math>Q_{tot}=3Q-Q=8\ nC\ </math>
Quindi a distanza <math>2R_3\ </math> dal centro il campo è radiale e vale:
:<math>E(2R_3)=\frac {Q_{tot}}{4\pi \varepsilon_o (2R_3)^2}=5\cdot 10^3\ V/m\ </math>
 
b)
 
All'interno del guscio metallico il campo è nullo quindi sulla superficie interna deve essere indotta una carica eguale ed opposta a quella della nuvola isolante.
 
Quindi sulla superficie interna del guscio metallico la densità di carica è:
:<math>\sigma_2=-\frac {3Q}{4\pi R_2^2}=-3.82\cdot 10^{-7}\ C/m^2\ </math>
Mentre sulla superficie esterna per la conservazione della carica deve esserci
una carica <math>Q_{tot}=8\ nC\ </math>. Quindi la densità superficiale vale:
:<math>\sigma_3=\frac {Q_{tot}}{4\pi R_3^2}=1.77\cdot 10^{-7}\ C/m^2\ </math>
 
c)
 
Per la legge di Coulomb sull'esterno del guscio metallico il campo vale:
:<math>E(R_3)=\frac {\sigma_3}{\varepsilon_o}=2\cdot 10^4\ V/m\ </math>
Mentre sul bordo della nuvola isolante vi è il valore massimo del campo elettrico:
:<math>E(R_1)=\frac {3Q}{4\pi \varepsilon_o R_1^2}=1.08\cdot 10^6\ V/m\ </math>
 
d)
 
la densità di carica della sfera interna è:
:<math>\rho=\frac {3(3Q)}{4\pi R_1^3}=0.0029\ C/m^3\ </math>
Quindi il campo per <math>0\le r\le R_1\ </math> vale:
:<math>E(r)=\frac {\rho r}{3\varepsilon_o}\ </math>
La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola è il centro vale:
:<math>DV_1=\int_0^{R_1}E(r)dr=\frac {\rho R_1^2}{6\varepsilon_o}=5.4\ kV\ </math>
mentre il campo per
(<math>R_1\le r\le R_2\ </math>):
:<math>E(r)=\frac {3Q}{4\varepsilon_o\pi r^2}\ </math>
La differenza di potenziale tra l'interno del guscio metallo e il bordo della nuvola:
:<math>DV_2=\int_{R_1}^{R_2}E(r)dr=\frac {3Q}{{4\pi \varepsilon_o}}\left(\frac 1{R_1}-\frac 1{R_2}\right)=8.6\ kV\ </math>
In totale la differenza di potenziale vale:
:<math>DV=DV_1+DV_2=14\ kV\ </math>