Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Dinamica dei corpi rigidi"

aggiunto esercizio 22
m (Annullate le modifiche di 93.146.114.90 (discussione), riportata alla versione precedente di 151.74.13.40)
(aggiunto esercizio 22)
 
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===22. Disco che lancia===
[[Immagine:Discochelancia.png|400px|right]]
 
Una piattaforma (un disco) non vincolata di massa <math>m_p\ </math> e raggio <math>R\ </math> è in quiete su di un piano orizzontale liscio quando da un suo bordo un sistema meccanico spara un proiettile (un punto materiale) di massa <math>m_0\ </math> con velocità <math>v_0\ </math> diretta tangenzialmente al bordo della piattaforma (si veda la figura) parallelamente all'asse delle x.
 
Ipotizzando il sistema meccanico di lancio come un punto materiale di massa <math>m_1\ </math> posto sul bordo della piattaforma, si chiede di determinare in assenza di attriti (per il sistema piattaforma più lanciatore):
 
a) le coordinate del centro di massa, la distanza del lanciatore dal centro di massa ed il momento di inerzia dall'asse libero di rotazione;
 
b) dopo il lancio determinare la velocità di traslazione del centro di massa del sistema e quella angolare in modulo direzione e verso impressa dal lancio del punto materiale;
 
c) la velocità angolare della piattaforma nel caso in cui essa fosse vincolata a ruotare intorno al suo centro nelle stesse condizioni dinamiche indicate in precedenza.
 
(Dati del problema: <math>R=5\ m\ </math>; <math>m_p=20\ kg\ </math>; <math>m_0=1\ kg\ </math>; <math>v_0=10\ m/s\ </math>, <math>m_1=5\ kg\ </math>)
 
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== Soluzioni ==
:<math>mg\ell'=E_r\ </math>
:<math>\ell'=E_r/(mg)=1.07\ m\ </math>
 
===22. Disco che lancia===
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a)
 
Una volta effettuato il lancio del punto materiale di massa <math>m_0\ </math>, assumendo come zero dell’asse delle ordinate il centro della piattaforma circolare, la coordinata del centro di massa del sistema vale
:<math>x_{CM}=0\qquad y_{CM}=\frac {m_1R}{m_p+m_1}=1\ m\ </math>
la distanza del lanciatore dal centro di massa:
:<math>d_1=R-y_{CM}=4\ m\ </math>
La piattaforma ha un momento di inerzia rispetto all'asse libero di rotazione:
:<math>I_p=\frac 12m_pR^2+m_py_{CM}^2=270\ kgm^2\ </math>
Quindi il sistema ha un momento di inerzia:
:<math>I_{CM}=I_p+m_1d_1^2=350\ kgm^2\ </math>
 
b)
 
Applicando la conservazione della quantità di moto la velocità di trascinamento del sistema:
:<math>0=m_0v_0+(m_p+m_1)v_p\longrightarrow v_p=-\frac {m_0v_0}{m_p+m_1}=-0.4 m/s\ </math>
lungo l'asse delle x.
Mentre dalla conservazione del momento angolare:
:<math>0=I_{CM}\omega_p-m_0d_1v_0\longrightarrow \omega_p=\frac {m_0d_1v_0}{I_{CM}}=0.114\ rad/s\ </math>
Il vettore velocità angolare è perpendicolare al piano del disco e uscente da esso.
 
c)
 
Nel caso in cui la piattaforma fosse vincolata a ruotare intorno al suo centro, il momento d’inerzia del sistema vale:
:<math>I'_{CM}=\frac 12m_pR^2+m_1R^2=375\ kgm^2\ </math>
Vale solo la conservazione del momento angolare:
:<math>0=I'_{CM}\omega_p-m_0Rv_0\longrightarrow \omega'_p=\frac {m_0Rv_0}{I'_{CM}}=0.133\ rad/s\ </math>
 
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Dinamica corpi rigidi]]