Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Cinematica"

sostituito esercizio 13
m (Bot: apostrofo dopo l'articolo indeterminativo e modifiche minori)
(sostituito esercizio 13)
=== 12. Moto ellittico ===
Le equazioni parametriche di un punto materiale, che descrive una ellisse intorno all'origine, sono:
:<math>x=a\sin \omega t</math>,\qquad <math>y=b\cos \omega t</math>.
 
Determinare, quando si è fatto un quarto di giro a partire dall'istante iniziale, quale sia la distanza dal centro, la velocità e l'accelerazione in modulo del punto materiale.
 
(dati del problema <math>a=2\ m</math>, <math>b=3\ m</math>, <math>\omega =0.2\ rad/s</math>).
 
 
<span class="noprint">[[#12. Moto_ellittico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 13. Moto a spirale ===
Le equazioni parametriche di un punto materiale, che descrive una curva a spirale con partenza nell'origine, sonodi un sistema di riferimento <math>(x,y)\ </math>, sono:
:<math>x=At\sin \omega t\ </math>
 
:<math>xy=At\sincos \omega t\ </math>
 
<math>y=At\cos \omega t\ </math>
 
Determinare, quando si è fatto un giro a partire dall'istante iniziale, quale sia la posizione, la velocità e l'accelerazione in modulo del punto materiale.
 
Determinare: a) la distanza del punto materiale dal centro dopo un giro; b) la sua velocità in modulo dopo mezzo giro; c) la sua accelerazione in modulo dopo un giro; d) la sua accelerazione tangenziale dopo un giro.
(dati del problema <math>A=0.5\ m/s</math>, <math>\omega =0.2\ rad/s\ </math>)
 
(dati del problema <math>A=0.15\ m/s</math>, <math>\omega =1.2\ rad/s\ </math>)
 
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Fissiamo il punto <math> s(0)=0 </math> come punto di partenza dell'auto e calcoliamo lo spazio percorso in un tempo <math> t=8,3 s </math>.
:<math>x(t)=\frac {1}{2}\ at^{2}=137,8\ m\ </math>
 
<math>x(t)=\frac {1}{2}\ at^{2}=137,8\ m\ </math>
 
=== 3. Treno ===
Assunta come origine delle coordinate spaziali la stazione e del tempo l'istante di partenza.
L'equazioni del moto sono:
:<math>x=\frac 12at^2\ </math>
 
:<math>xv=\frac 12at^2at\ </math>
 
<math>v=at\ </math>
 
Dai dati del problema:
:<math>v_1=at_1\ </math>
 
:<math>v_1v_2=at_1at_2\ </math>
 
<math>v_2=at_2\ </math>
 
da cui:
:<math>t_1=\frac {v_1}a\ </math>
 
:<math>t_1t_2=\frac {v_1v_2}a\ </math>
 
<math>t_2=\frac {v_2}a\ </math>
 
Imponendo che:
:<math>d=\frac 12 at_2^2-\frac 12 at_1^2=\frac 1{2a}(v_2^2-v_1^2)\ </math>
 
:<math>d=\frac 12 at_2^2-\frac 12 at_1^2a=\frac 1{2a2d}(v_2^2-v_1^2)=1.6\ m/s^2\ </math>
 
<math>a=\frac 1{2d}(v_2^2-v_1^2)=1.6\ m/s^2\ </math>
 
Il tempo per fare il tratto <math>d\ </math>:
:<math>t=t_2-t_1=\frac {v_2}a-\frac {v_1}a=4.4\ s\ </math>
 
<math>t=t_2-t_1=\frac {v_2}a-\frac {v_1}a=4.4\ s\ </math>
 
La distanza dalla stazione di partenza:
:<math>t_1=20.6\ s\ </math>
 
:<math>t_1d_1=20.6\frac s12 at_1^2=340\ m\ </math>
 
<math>d_1=\frac 12 at_1^2=340\ m\ </math>
 
=== 4. Rally ===
 
Definisco <math>t_1\ </math> il tempo di accelerazione e <math>t_2\ </math> quello di
 
decelerazione:
:<math>v_{max}=a_{max}t_1=-a_{min}t_2\ </math>
 
<math>v_{max}=a_{max}t_1=-a_{min}t_2\ </math>
 
da cui:
:<math>R=\frac {t_1}{t_2}=-\frac {a_{min}}{a_{max}}=1.5\ </math>
 
<math>R=\frac {t_1}{t_2}=-\frac {a_{min}}{a_{max}}=1.5\ </math>
 
Imponendo che lo spazio percorso sia <math>d\ </math>:
:<math>\frac 12a_{max}t_1^2+v_{max}t_2+\frac 12 a_{min}t_2^2=d\ </math>
 
:<math>\frac 12a_{max}t_1^2+v_a_{max}t_2t_1t_2+\frac 12 a_{min}t_2^2=d\ </math>
:<math>R^2\frac 12a_{max}t_2^2+Ra_{max}t_2^2+\frac 12 a_{min}t_2^2=d\ </math>
 
:<math>t_2^2=\frac 12a_{2d}{R^2a_{max}t_1^2+a_2Ra_{max}t_1t_2+\frac 12 a_{min}t_2^2=d}\ </math>
:<math>t_2=\sqrt{\frac {2d}{R^2a_{max}+2Ra_{max}+a_{min}}}=11.55\ s\ </math>
 
:<math>t_1=Rt_2=17.32\ s\ </math>
<math>R^2\frac 12a_{max}t_2^2+Ra_{max}t_2^2+\frac 12 a_{min}t_2^2=d\ </math>
:<math>v_{max}=a_{max}t_1=34.64\ m/s=124.56\ km/h\ </math>
 
<math>t_2^2=\frac {2d}{R^2a_{max}+2Ra_{max}+a_{min}}\ </math>
 
<math>t_2=\sqrt{\frac {2d}{R^2a_{max}+2Ra_{max}+a_{min}}}=11.55\ s\ </math>
 
<math>t_1=Rt_2=17.32\ s\ </math>
 
<math>v_{max}=a_{max}t_1=34.64\ m/s=124.56\ km/h\ </math>
 
=== 5. Moto armonico semplice ===
 
Dai dati del problema:
:<math>x=x_0\sin (\omega t)\ </math>
 
:<math>xa=-x_0\omega^2 \sin (\omega t)\ </math>
 
<math>a=-x_0\omega^2 \sin (\omega t)\ </math>
 
Quindi:
:<math>\omega=\sqrt{\frac {a_0}{x_0}}=2000\ rad/s</math>
 
<math>\omega=\sqrt{\frac {a_0}{x_0}}=2000\ rad/s</math>
 
Quindi nella posizione centrale:
:<math>v_0=\sqrt {x_0a_0}=4\ m/s\ </math>
 
:<math>v_0T=\sqrtfrac {2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{x_0a_0\frac {x_0}{a_0}}=43.14\times 10^{-3}\ m/s\ </math>
 
<math>T=\frac {2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac {x_0}{a_0}}=3.14\times 10^{-3}\ s\ </math>
 
=== 6. Caduta con attrito viscoso ===
Da dati del problema (notare che <math>v_f\ </math> è negativo se g è diretto verso il basso):
:<math>v_f=\frac gb\ </math>
 
<math>v_f=\frac gb\ </math>
 
Quindi:
:<math>b=\frac g{v_f}=2\ s^{-1}\ </math>
 
<math>b=\frac g{v_f}=2\ s^{-1}\ </math>
 
Se chiamiamo <math>t_1\ </math> il tempo per cui;
 
<math>-bv=0.9 g </math>
 
Ma essendo:
:<math>v=-\frac gb\left( 1-e^{-bt} \right)\ </math>
 
<math>v=-\frac gb\left( 1-e^{-bt} \right)\ </math>
 
segue che:
:<math>g\left( 1-e^{-bt_1} \right)=0.9g\ </math>
 
<math>g\left( 1-e^{-bt_1} \right)=0.9g\ </math>
 
Cioè:
:<math>bt_1=\ln 10\ </math>
 
:<math>bt_1t_1=\ln 101.15\ s</math>
 
<math>t_1=1.15\ s</math>
 
b)
 
:<math>h_1=h+\frac gb\left( \frac 1b-t_1-\frac 1be^{-bt_1} \right)=6.6\ m</math>
 
c)
 
Il termine esponenziale nell'espressione ha un valore trascurabile per cui:
:<math>h+\frac gb\left( \frac 1b-t_2 \right)\approx 0\ </math>
 
<math>h+\frac gb\left( \frac 1b-t_2 \right)\approx 0\ </math>
 
Cioè il termine esponenziale è trascurabile.
:<math>t_2=\frac bgh+\frac 1b=2.54\ s</math>
 
<math>t_2=\frac bgh+\frac 1b=2.54\ s</math>
 
Notare che il valore esatto (tenendo conto del termine esponenziale e risolvendo in maniera
numerica per approssimazioni successive) vale:
:<math>t_{2e}=2.5377\ s</math>
 
<math>t_{2e}=2.5377\ s</math>
 
=== 7. Moto parabolico ===
 
Eliminando il tempo tra le due equazioni:
:<math>y=\frac c{b^2}(x-a)^2\ </math>
 
<math>y=\frac c{b^2}(x-a)^2\ </math>
 
cioè l'equazione di una parabola.
 
Derivando rispetto al tempo l'equazioni parametriche:
:<math>v_x=b\ </math>
 
:<math>v_xv_y=b2ct\ </math>
 
<math>v_y=2ct\ </math>
 
quindi il modulo della velocità:
:<math>v(t)=\sqrt{b^2+4c^2t^2}\ </math>
 
<math>v(t)=\sqrt{b^2+4c^2t^2}\ </math>
 
che per <math>t=t_o\ </math>:
:<math>v(t_o)=\sqrt{b^2+4c^2t_o^2}=42\ m/s\ </math>
 
<math>v(t_o)=\sqrt{b^2+4c^2t_o^2}=42\ m/s\ </math>
 
=== 8. Moto circolare non uniforme ===
a)
 
:<math>a_T=R\frac {d\omega }{dt}=\frac 12 \frac {AR}{\sqrt {t_1}}=15.8\ m/s^{-2}</math>
:<math>a_c=\omega^2R=A^2tR=16\ m/s^{-2}</math>
 
<math>a_c=\omega^2R=A^2tR=16\ m/s^{-2}</math>
 
quindi in modulo:
:<math>|a|=\sqrt{a_T^2+a_c^2}=22.5\ m/s^2</math>
 
<math>|a|=\sqrt{a_T^2+a_c^2}=22.5\ m/s^2</math>
 
b)
 
Dai dati del problema essendo:
:<math>\omega=\frac {d\theta }{dt}=A\sqrt t</math>
 
:<math>\omegatheta=\frac {d\theta 2A}3t^{dt3/2}=A+\sqrt ttheta_o</math>
 
<math>\theta=\frac {2A}3t^{3/2}+\theta_o</math>
 
Imponendo che:
:<math>2\pi=\frac {2A}3t^{3/2}\ </math>
 
:<math>2\pit=\frac {2A}3t^{3/2}.8\ s</math>
 
<math>t=2.8\ s</math>
 
=== 9. Palla in alto ===
 
L'equazione del moto è:
:<math>x=v_ot-\frac 12 gt^2\ </math>
 
<math>x=v_ot-\frac 12 gt^2\ </math>
 
Essendo <math>x=h_1\ </math> per <math>t=t_1\ </math>:
:<math>h_1=v_ot_1-\frac 12gt_1^2\ </math>
 
:<math>h_1v_o=v_ot_1-\frac 12gt_1{2h_1+gt_1^2}{2t_1}=12\ m/s</math>
 
<math>v_o=\frac {2h_1+gt_1^2}{2t_1}=12\ m/s</math>
 
La massima altezza viene raggiunta quando <math>v(t_2)=0\ </math>:
:<math>v_o=gt_2\ </math>
 
:<math>v_ot_2=gt_21.22\ s</math>
 
<math>t_2=1.22\ s</math>
 
Ad una altezza di:
:<math>h_2=v_ot_2-\frac 12 gt_2^2=7.3\ m</math>
 
<math>h_2=v_ot_2-\frac 12 gt_2^2=7.3\ m</math>
 
=== 10. Macchina in frenata ===
 
Nel caso generale: la velocità iniziale è <math>v\ </math>, <math>t_r\ </math> il tempo di reazione, <math>t\ </math> il tempo di frenata, <math>d\ </math> lo spazio di frenata, possiamo scrivere che:
:<math>d=vt_r+vt-\frac 12 at^2\ </math>
 
<math>d=vt_r+vt-\frac 12 at^2\ </math>
 
Ma nel nostro caso specifico sostituendo nell'equazione del moto i dati del problema:
:<math>v_1=at_1\ </math>
 
:<math>v_1v_2=at_1at_2\ </math>
 
<math>v_2=at_2\ </math>
 
Da cui ricavo <math>t_1=v_1/a\ </math> e <math>t_2=v_2/a\ </math> di frenata.
 
Nel nostro caso specifico:
:<math>d_1=v_1t_r+v_1t_1-\frac 12 at_1^2=v_1t_r+\frac {v_1^2}{2a}\ </math>
 
:<math>d_1d_2=v_1t_rv_2t_r+v_1t_1v_1t_2-\frac 12 at_1at_2^2=v_1t_rv_2t_r+\frac {v_1v_2^2}{2a}\ </math>
 
<math>d_2=v_2t_r+v_1t_2-\frac 12 at_2^2=v_2t_r+\frac {v_2^2}{2a}</math>
 
Risolvendo il sistema nelle due incognite <math>a\ </math> e <math>t_r\ </math>:
a)
 
:<math>a=\frac 12 \frac {v_1^2v_2-v_1v_2^2}{v_2d_1-v_1d_2}=4.66\ m/s^2</math>
 
b)
 
:<math>t_r=\frac {d_2}{v_2}-\frac 12 \frac {v_2}a=0.18\ s</math>
 
=== 11. Ampiezza moto armonico ===
 
La pulsazione del moto vale:
:<math>\omega= \frac {2\pi}T=2.1\ rad/s</math>
 
<math>\omega= \frac {2\pi}T=2.1\ rad/s</math>
 
Mentre posso scrivere in generale che:
:<math>x(t)=x_o\sin (\omega t+\varphi)\ </math>
 
<math>x(t)=x_o\sin (\omega t+\varphi)\ </math>
 
ed:
:<math>v(t)=x_o\omega \cos (\omega t+\varphi)\ </math>
 
<math>v(t)=x_o\omega \cos (\omega t+\varphi)\ </math>
 
Dalle condizioni iniziali:
:<math>x_1=x_o\sin (\varphi)\ </math>
 
:<math>x_1v_1=x_o\sinomega \cos (\varphi)\ </math>
 
<math>v_1=x_o\omega \cos (\varphi)\ </math>
 
Facendo il rapporto:
:<math>\tan (\varphi)=\frac {x_1\omega}{v_1}\ </math>
 
:<math>\tan (\varphi)=0.95\frac {x_1\omega}{v_1}rad=54^o\ </math>
 
<math>\varphi=0.95\ rad=54^o\ </math>
 
La massima elongazione vale:
:<math>x_o=\frac {x_1}{\sin \varphi}=0.25\ m</math>
 
<math>x_o=\frac {x_1}{\sin \varphi}=0.25\ m</math>
 
Mentre la velocità si annulla quando a partire dall'istante iniziale:
:<math>\omega t_1+\varphi =\frac {\pi}2\ </math>
 
:<math>\omega t_1+\varphi =\frac {\pi}20.3\ s</math>
 
<math>t_1=0.3\ s</math>
 
=== 12. Moto ellittico ===
 
Per compiere un quarto di giro occorre che:
:<math>\omega t_1=\pi/2\ </math>
 
<math>\omega t_1=\pi/2\ </math>
 
essendo:
:<math>v_x=a\omega \cos \omega t\ </math>
 
:<math>v_xv_y=a-b\omega \cossin \omega t\ </math>
 
<math>v_y=-b\omega \sin \omega t\ </math>
 
ed
:<math>a_x=-a\omega^2 \sin \omega t\ </math>
 
:<math>a_xa_y=-ab\omega^2 \sincos \omega t\ </math>
 
<math>a_y=-b\omega^2 \cos \omega t\ </math>
 
dopo 1/4 di giro si ha che <math>\sin \omega t_1=1\ </math> e <math>\cos \omega t_1=0\ </math> quindi:
:<math>x(t_1)=a\ </math>
 
:<math>xy(t_1)=a0\ </math>
:<math>d=a=2\ m\ </math>
 
<math>y(t_1)=0\ </math>
 
<math>d=a=2\ m\ </math>
 
e
:<math>v_x(t_1)=0\ </math>
 
:<math>v_xv_y(t_1)=0-b\omega \ </math>
:<math>|v|=b\omega=0.6\ m/s \ </math>
 
<math>v_y(t_1)=-b\omega \ </math>
 
<math>|v|=b\omega=0.6\ m/s \ </math>
 
e
:<math>a_x(t_1)=-a\omega^2\ </math>
 
:<math>a_xa_y(t_1)=-a\omega^20\ </math>
:<math>|a|=a\omega^2=0.08\ m/s^2\ </math>
 
<math>a_y(t_1)=0\ </math>
 
<math>|a|=a\omega^2=0.08\ m/s^2\ </math>
 
=== 13. Moto a spirale ===
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a)
 
La velocità vale:
 
Per fare un giro impiega un tempo pari a:
<math>v_x=A\sin \omega t+At\omega \cos \omega t\ </math>
:<math>t_g=\frac {2\pi}{\omega}=5.2\ s\ </math>
quindi la distanza dal centro dopo un giro è:
:<math>d=y(t_g)=\frac {A2\pi}{\omega}=0.78\ m\ </math>
 
b)
<math>v_y=A\cos \omega t-At\omega \sin \omega t\ </math>
 
Le componenti della velocità sono:
In modulo:
:<math>v_x=A\sin \omega t+At\omega \cos \omega t\ </math>
:<math>v_y=A\cos \omega t-At\omega \sin \omega t\ </math>
Per fare mezzo giro impiega un tempo pari a:
:<math>t_m=\frac {\pi}{\omega}\ </math>
Dopo mezzo giro:
:<math>v_x(t_m)=-At_m\omega=-A\pi \qquad v_y(t_m)=-A\ </math>
Quindi
:<math>|v(t_m)|=\sqrt{v_x(t_m)^2+v_y(t_m)^2}=A\sqrt{\pi^2+1}=0.49\ m/s\ </math>
 
c)
<math>|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=A\sqrt{1+t^2\omega^2}\ </math>
 
Mentre la accelerazione vale:
 
<math>a_x=2A\omega \cos \omega t-At\omega^2 \sin \omega t\ </math>
 
La accelerazione ha componenti:
<math>a_y=-2A\omega \sin \omega t-At\omega^2 \cos \omega t\ </math>
:<math>a_x=2A\omega \cos \omega t-At\omega^2 \sin \omega t\ </math>
:<math>a_y=-2A\omega \sin \omega t-At\omega^2 \cos \omega t\ </math>
Dopo un giro:
:<math>a_x=2A\omega\ </math>
:<math>a_y=-At_g\omega^2=-A2\pi \omega \ </math>
In modulo:
:<math>|a(t_g)|=2A\omega\sqrt {1+\pi^2}=1.19\ m/s^2\ </math>
 
d)
In modulo vale:
 
<math>|a|=A\omega \sqrt{4+t^2\omega^2}\ </math>
 
Viene fatto un giro quando:
 
<math>\omega t_1=2\pi\ </math>
 
<math>t_1=31.4\ s\ </math>
 
Quindi:
 
Il versore tangenziale dopo un giro è diretto come la velocità:
<math>x_1=0\ </math>
:<math>v_x(t_g)=A2\pi\ </math>
:<math>v_y(t_g)=A\ </math>
:<math>\hat u_x=\frac {2\pi}{\sqrt{4\pi^2+1}}\ </math>
:<math>\hat u_y=\frac {1}{\sqrt{4\pi^2+1}}\ </math>
 
:<math>a_t=a_x\hat u_x+a_y\hat u_y=2A\omega\frac {2\pi}{\sqrt{4\pi^2+1}}-A2\pi \omega\frac {1}{\sqrt{4\pi^2+1}}=\frac {2\pi A\omega}{\sqrt{4\pi^2+1}}=0.18\ m/s^2\ </math>
<math>y_1=At_1=15.7\ m\ </math>
 
La componente centripeta è prevalente e vale:
<math>|v|=3.18\ m/s\ </math>
:<math>a_c=\sqrt{a(t_g)^2-a_t^2}=1.17\ m/s^2\ </math>
 
<math>|a|=0.66\ m/s^2\ </math>
 
=== 14. Altezza di un pozzo ===