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Fisica classica/Campi elettromagnetici nei dielettrici: differenze tra le versioni

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Consideriamo la propagazione in un mezzo di
un [[w:pacchetto_d'onda|Pacchettopacchetto d'onda]] cioè una sovrapposizione di onde piane:
:<math> E(x,t)= \int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(kx-\omega t)},</math>
La funzione <math> A(k),</math> è il peso delle varie onde piane sovrapposte.
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La velocità di gruppo di un'onda è la velocità con cui l'inviluppo totale dell'onda si propaga nello spazio.
 
La funzione <math>\omega(k),\ </math> , tra la pulsazione ed il numero d'onda, è conosciuta come [[w:Relazione_di_dispersione|relazione di dispersione]].
 
Se il mezzo non è dispersivo si ha che la relazione di dispersione è semplicemente:
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Se il pacchetto d'onda è costituito da un piccolo intervallo di frequenze, possiamo considerare
<math> \omega(k),</math> approssimativamente lineare in questo intervallo. Consideriamo cioè un pacchetto d'onda, quasi monocromatico, centrato attorno alla pulsazione attorno a <math> \omega_o,</math>, con una relazione di dispersione:
:<math>\omega(k) \approx \omega_0 + (k-k_0)(d\omega'_0/dk)_{\omega}=\omega_0 + (k-k_0)v_g</math>
Sostituendo, la relazione di dispersione, nella espressione generale del pacchetto d'onda, dopo semplici passaggi algebrici:
:<math> E(x,t)= e^{i(k_0 x - \omega_0 t)}\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k-k_0)(x-\omega'_0 tv_gt)}.</math>
Ci sono due termini in questa espressione:
Ci sono due termini in questa espressione. Il primo termine, <math>e^{i(k_0 x - \omega_0 t)}</math>, descrive un'onda monocromatica, con numero d'onda <math> k_0.</math>, con picchi e avvallamenti che si muovono alla velocità di fase all'interno dell'inviluppo del pacchetto d'onda.▼
 
▲Ci sono due termini in questa espressione. Il primo termine, <math>e^{i(k_0 x - \omega_0 t)}</math>, descrive un'onda monocromatica, con numero d'onda <math> k_0.\ </math>, con picchi e avvallamenti che si muovono alla velocità di fase all'interno dell'inviluppo del pacchetto d'onda.
L'altro termine:
:<math>\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k-k_0)(x-\omega'_0 t)}</math>,
è l'inviluppo del pacchetto d'onda. Questa funzione inviluppo dipende dalla posizione e dal tempo solo attraverso la combinazione di <math>(x-\omega'_0 t)</math>.▼
 
Perciò,L'altro termine è l'inviluppo di undel pacchetto d'onda viaggia alla velocità:
:<math>\omega'_0=(dint_{-\omega/infty}^\infty dk \, A(k)_ e^{i(k=-k_0)(x-v_g t)}~,</math>,
▲è l'inviluppo del pacchetto d'onda. Questa funzione inviluppo dipende dalla posizione e dal tempo solo attraverso la combinazione di <math>(x-\omega'_0 t)</math>.
in questa maniera si chiarisce meglio il concetto di velocità di gruppo.
 
Perciò, l'inviluppo di un pacchetto d'onda viaggia alla velocità di gruppo.
 
=Passaggio da un mezzo ad un altro=
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''Fra tutti i cammini possibili la luce sceglie sempre il cammino (detto cammino ottico) che richiede il più breve cammino per essere percorso''.
 
Tali proprietà in realtà sono state formulate per la parte dello spettro che si conosceva allora: l'ottica; ma in realtà tale principio vale per tutte le onde elettromagnetiche piane.
 
 
=== Riflessione ===
[[Image:Fermat_riflessione.png|thumb|left|300px|Legge di Fermat applicata alla riflessione da una superficie, gli angoli <math>\theta_1\ </math> e <math>\theta_etheta_2\ </math> sono quelli che nella figura precedente e nel testo identificatisono conchiamati <math>\theta_i\ </math> (raggio incidente) e <math>\theta_r\ </math> (raggio riflesso) ]]
Usiamo il teorema di Fermat per derivare le leggi della riflessione.▼
 
▲Usiamo il teorema di Fermat per derivare le leggi della riflessione.
Immaginiamo di volere andare da un punto A ad un punto B, disposti come in figura cioè riflettendo sulla superficie piana S. Indichiamo con <math>(x_A,y_A,0)\ </math>, <math>(x_B,y_B,0)\ </math> le coordinate dei punti A e B. Scegliamo il piano x,y passante per i punti A e B (per questo la terza coordinata è nulla). Scegliamo inoltre l'asse delle y passante per il punto di incidenza (x,0,z) da determinare. Il tempo impiegato dalla luce nel mezzo in cui si propaga con velocità c' sarà:
:<math>t=\frac {\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2+z^2}}{c'}+\frac {\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2+z^2}}{c'}\ </math>
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=== Rifrazione ===
[[Image:Fermat_rifrazione.png|thumb|left|300px|Legge di Fermat applicata alla rifrazione tra due mezzi. Gli angoli <math>\theta_1\ </math> e <math>\theta_etheta_2\ </math> sono quelli che nella prima figura e nel testo identificati con <math>\theta_i\ </math> (raggio incidente) e <math>\theta_t\ </math> (raggio trasmesso) ]]
Usiamo il teorema di Fermat per derivare le leggi della rifrazione.
 
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ossia:
:<math>\frac {\sin \theta_i}{\sin \theta_t}=\frac {c_1}{c_2}=\frac {n_2}{n_1}\ </math>
 
'''La legge della rifrazione''': ''Il rapporto tra il seno dell'angolo di incidenza ed il seno dell'angolo di rifrazione è costante
ed eguale al rapporto della velocità della luce nei due mezzi''. Spesso scritta come:
:<math>n_1\sin \theta_i=n_2\sin \theta_r\ </math>
 
Notiamo che se <math>n_2>n_1>n_2\ </math>, l'angolo di rifrazione sarà maggiore dell'angolo di incidenza; esisterà dunque un angolo
<math>\theta_1theta_i\ </math> tale che <math>\theta_2theta_r=90^0\ </math> quindi:
:<math>\sin \theta_1theta_{limite}=n_\frac {n_2}{1,2n_1}\ </math>
Tale angolo è detto ''angolo limite'' (o critico). Infatti, per un angolo di incidenza superiore a tale valore non vi è nessun raggio diffratto.
Tale fenomeno, su ci si basa la propagazione delle onde elettromagnetiche nelle [[w:Fibra ottica|fibre ottiche]], è chiamato riflessione totale.
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