Fisica classica/Campi elettromagnetici nei dielettrici: differenze tra le versioni

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aggiunta velocità di gruppo e di fase
aggiunto passaggio tra i mezzi
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:<math>\omega'_0=(d\omega/dk)_{k=k_0}~,</math>
in questa maniera si chiarisce meglio il concetto di velocità di gruppo.
 
=Passaggio da un mezzo ad un altro=
 
[[Immagine:Fresnel.svg|right|Un'onda elettromagnetica che colpisce l'interfaccia tra due mezzi di divide in due: una parte viene riflessa e una parte viene rifratta.]]
 
Quando una onda piana monocromatica va da un mezzo con un dato indice di rifrazione ''n''<sub>1</sub> verso un secondo mezzo con indice ''n''<sub>2</sub>, possono verificarsi sia la riflessione che la [[w:rifrazione|rifrazione]] dell'onda luminosa stessa.
 
Nella figura a destra, un'onda elettromagnetica incidente '''PO''' colpisce al punto '''O''' l'interfaccia tra due mezzi con indici di rifrazione ''n''<sub>1</sub> e ''n''<sub>2</sub>. Parte del raggio viene [[w:riflessione (fisica)|riflessa]] come raggio '''OQ''' e parte viene [[w:rifrazione|rifratta]] seguendo la traiettoria '''OS'''. Gli angoli che l'onda incidente, riflessa e rifratta formano con la [[w:perpendicolare|normale]] all'interfaccia sono θ<sub>i</sub>, θ<sub>r</sub> e θ<sub>t</sub>, rispettivamente.
 
Le proprietà sono state studiate già nella metà del XVII secolo da [[w:Fermat|Fermat]] a partire da un semplice principio:
 
''Fra tutti i cammini possibili la luce sceglie sempre il cammino (detto cammino ottico) che richiede il più breve cammino per essere percorso''.
 
Tali proprietà in realtà sono state formulate per la parte dello spettro che si conosceva l'ottica ma in realtà vale per tutte le onde elettromagnetiche piane.
 
 
=== Riflessione ===
[[Image:Fermat_riflessione.png|thumb|left|300px|Legge di Fermat applicata alla riflessione da una superficie, gli angoli <math>\theta_1\ </math> e <math>\theta_e\ </math> sono quelli che nella figura precedente e nel testo identificati con <math>\theta_i\ </math> (raggio incidente) e <math>\theta_r\ </math> (raggio riflesso) ]]
Usiamo il teorema di Fermat per derivare le leggi della riflessione.
 
Immaginiamo di volere andare da un punto A ad un punto B, disposti come in figura cioè riflettendo sulla superficie piana S. Indichiamo con <math>(x_A,y_A,0)\ </math>, <math>(x_B,y_B,0)\ </math> le coordinate dei punti A e B. Scegliamo il piano x,y passante per i punti A e B (per questo la terza coordinata è nulla). Scegliamo inoltre l'asse delle y passante per il punto di incidenza (x,0,z) da determinare. Il tempo impiegato dalla luce nel mezzo in cui si propaga con velocità c' sarà:
:<math>t=\frac {\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2+z^2}}{c'}+\frac {\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2+z^2}}{c'}\ </math>
Se deriviamo la derivata rispetto a z di tale equazione e la poniamo eguale a zero (troviamo lo z per cui la funzione ha un minimo, che sia un minimo davvero lo rivela la derivata seconda). Il valore della derivata prima posta eguale a 0:
:<math>z\left( \frac 1{\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2+z^2}}+\frac 1{\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2+z^2}}\right) =0\ </math>
Essendo il termine dentro parentesi sempre maggiore di 0, la somma degli inversi di due distanze, occorre che z=0.
Quindi i raggi incidente e riflesso sono contenuti nel piano individuato dal raggio incidente e dalla normale alla superficie
passante per il punto di incidenza. Quindi l'equazione sul tempo totale diviene:
:<math>t=\frac {\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2}}{c'}+\frac {\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2}}{c'}\ </math>
Derivando nella sola variabile x rimasta e annullandola si ha che:
:<math>\frac {x-x_A}{\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2}}+\frac {x-x_B}{\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2}}=0\ </math>
Dalla costruzione geometrica il primo termine è il seno dell'angolo <math>\theta_1\ </math>, l'angolo che forma il raggio incidente con la normale al piano passante per il punto di incidenza. Mentre il secondo termine è il seno cambiato di segno,dell'angolo che il raggio riflesso forma con la normale al piano:
:<math>\sin \theta_i=\sin \theta_r\ </math>
e quindi:
:<math> \theta_i=\theta_r\ </math>
'''La legge della riflessione''': ''L'angolo di incidenza e di riflessione sono eguali''.
 
L'ipotesi di superficie piana significa che la [[w:Rugosità|rugosità]] della interfaccia sia trascurabile rispetto alla lunghezza d'onda. Quindi per onde millimetriche una rugosità di frazione di millimetri rappresenta una superficie piana. Mentre per la luce, che ha lunghezze d'onda di frazioni di la condizione di superficie piana corrisponde ad un
 
 
=== Rifrazione ===
[[Image:Fermat_rifrazione.png|thumb|left|300px|Legge di Fermat applicata alla rifrazione tra due mezzi. Gli angoli <math>\theta_1\ </math> e <math>\theta_e\ </math> sono quelli che nella prima figura e nel testo identificati con <math>\theta_i\ </math> (raggio incidente) e <math>\theta_t\ </math> (raggio trasmesso) ]]
Usiamo il teorema di Fermat per derivare le leggi della rifrazione.
 
Quando un raggio di luce attraversa la superficie di separazione tra due mezzi diversi trasparenti con velocità della luce
c<sub>1</sub> e c<sub>2</sub>. Cioè studiamo la rifrazione come mostrato nella figura a fianco. Come per le leggi della riflessione, supponiamo che la separazione tra i due mezzi sia piana.
 
Indichiamo con <math>(x_A,y_A,0)</math>, <math>(x_B,y_B,0)</math> le coordinate dei punti A e B. Scegliamo il piano x,y passante per i punti A e B (per questo la terza coordinata è nulla). Scegliamo inoltre l'asse delle y passante per il punto di incidenza (x,0,z) da determinare. Il tempo totale impiegato dal raggio per andare dal punto A e B sarà:
:<math>t=\frac {\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2+z^2}}{c_1}+\frac {\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2+z^2}}{c_2}\ </math>
Se deriviamo la derivata rispetto a z di tale equazione e la poniamo eguale a zero (troviamo lo z per cui la funzione ha un minimo, che sia un minimo davvero lo rivela la derivata seconda). Il valore della derivata prima posta eguale a 0:
:<math>z\left( \frac 1{c_1\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2+z^2}}+\frac 1{c_2\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2+z^2}}\right) =0\ </math>
Essendo il termine dentro parentesi sempre maggiore di 0, la somma degli inversi di due distanze, occorre che z=0.
Quindi i raggi incidente e rifratto sono contenuti nel piano individuato dal raggio incidente e dalla normale alla superficie
passante per il punto di incidenza.
Quindi l'equazione sul tempo totale si riduce a:
:<math>t=\frac {\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2}}{c_1}+\frac {\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2}}{c_2}\ </math>
Derivando nella sola variabile x rimasta e annullandola si ha che:
:<math>\frac {x-x_A}{c_1\sqrt{(x-x_A)^2+y_A^2}}+\frac {x-x_B}{c_2\sqrt{(x-x_B)^2+y_B^2}}=0\ </math>
da cui:
:<math>\frac {\sin \theta_i}{c_1}=\frac {\sin \theta_t}{c_2}\ </math>
ossia:
:<math>\frac {\sin \theta_i}{\sin \theta_t}=\frac {c_1}{c_2}=\frac {n_2}{n_1}\ </math>
 
'''La legge della rifrazione''': ''Il rapporto tra il seno dell'angolo di incidenza ed il seno dell'angolo di rifrazione è costante
ed eguale al rapporto della velocità della luce nei due mezzi''.
 
Notiamo che se <math>n_2>n_1\ </math>, l'angolo di rifrazione sarà maggiore dell'angolo di incidenza; esisterà dunque un angolo
<math>\theta_1\ </math> tale che <math>\theta_2=90^0\ </math> quindi:
:<math>\sin \theta_1=n_{1,2}\ </math>
Tale angolo è detto ''angolo limite'' (o critico). Infatti, per un angolo di incidenza superiore a tale valore non vi è nessun raggio diffratto.
Tale fenomeno, su ci si basa la propagazione delle onde elettromagnetiche nelle [[w:Fibra ottica|fibre ottiche]], è chiamato riflessione totale.
 
Anche la spiegazione fisica del [[w:Miraggio|miraggio]] è basata su tale fenomeno. Esso si verifica quando i raggi del Sole incontrano uno strato d'aria più calda rispetto agli strati sovrastanti dove l'aria più fredda e di densità maggiore. Così i raggi di luce subiscono una riflessione totale ed è possibile vedere le immagini come se fossero veramente riflesse al suolo.
 
== [[w:Leggi_di_Fresnel|Leggi di Fresnel]]==
Grazie alle leggi di Fresnel è possibile calcolare come l'intensità di un'onda elettromagnetica incidente su una superficie viene ripartita tra il raggio riflesso e il raggio rifratto.
 
Per ricavare tali leggi si descrive l'onda incidente come:
: <math>\vec E_i =\vec E_{io}e^{j(\vec k_i\cdot \vec r-\omega t)}\ </math>
indicando con <math>\vec k_i\ </math> il vettore d'onda incidente.
 
L'onda riflessa, nello stesso punto spazio del raggio riflesso:
: <math>\vec E_r =\vec E_{ro}e^{j(\vec k_r\cdot \vec r-\omega t)}\ </math>
indicando con <math>\vec k_r\ </math> il vettore d'onda riflesso. Tale vettore in modulo è eguale a <math>\vec k_i\ </math>.
 
L'onda trasmessa, sempre nello stesso punto:
: <math>\vec E_t =\vec E_{to}e^{j(\vec k_t\cdot \vec r-\omega t)}\ </math>
indicando con <math>\vec k_r\ </math> il vettore d'onda riflesso, notiamo <math>|k_r|/|k_i|=n_1/n_2\ </math>
 
Ai vettori <math>\vec E_i, \vec E_r, \vec E_t\ </math> sono associati i campi magnetici normali:
: <math>\vec B_i=\frac {n_1}c\hat k_i\times \vec E_i\qquad \vec B_r=\frac {n_1}c\hat k_r\times \vec E_r
\qquad \vec B_t=\frac {n_2}c\hat k_t\times \vec E_t\ </math>
 
Tali onde sia che siano polarizzate o meno possono dividersi in componenti una con il campo elettrico perpendicolare al piano di incidenza (dato dalla direzione di propagazione dell'onda incidente e dalla normale all'interfaccia), detta '''polarizzazione S''' (''senkrecht'', perpendicolare in [[w:lingua tedesca|tedesco]]). L'altra nel piano di incidenza detta '''polarizzazione P''' (da parallela) .
 
Cioè posso scrivere:
:<math>\vec E_i =E_{iS}+E_{iP}\qquad \vec E_r =E_{rS}+E_{rP}\qquad \vec E_t =E_{tS}+E_{tP}\ </math>
: <math>\vec B_i =B_{iS}+B_{iP}\qquad \vec B_r =B_{rS}+B_{rP}\qquad \vec B_r =B_{rS}+B_{rP}\ </math>
 
Dalla condizione di raccordo nei [[Fisica_classica/Dielettrici#Interfaccia_tra_due_dielettrici|dielettrici]]
per quanto riguarda il campo elettrico la cui componente tangenziale è eguale nei due mezzi (la componente tangenziale alla superficie è quella chiamata ora '''P''' ):
:<math>E_{S1}=E_{S2}\longrightarrow E_{iS}+E_{rS}=E_{tS}\ </math>
La componente normale del campo di induzione magnetica (B) nel [[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia#Passaggio_da_un_mezzo_ad_un_altro|passaggio da un mezzo all'altro]]
è eguale, di conseguenza:
:<math>B_{P1}=B_{P2}\longrightarrow n_1\cos \theta_i(E_{iS}+E_{rS})=n_2E_{tS}\cos \theta_t\ </math>
Analoghe condizioni di raccordo valgono per lo spostamento dielettrico (D) e il campo magnetico.
Di conseguenza si hanno 4 equazioni, da cui con passaggi algebrici, la riflettanza per la componente perpendicolare (del campo elettrico):
: <math>R_S =\left(\frac {E_{rS}}{E_{iS}}\right)^2= \left[ \frac{\sin (\theta_t - \theta_i)}{\sin (\theta_t + \theta_i)} \right]^2\ </math>
mentre la riflettanza per la componente trasversa (quindi normale per il campo magnetico):
: <math>R_P =\left(\frac {E_{rP}}{E_{iP}} \right)^2= \left[ \frac{\tan (\theta_t - \theta_i)}{\tan (\theta_t + \theta_i)} \right]^2\ </math>
analogamente la trasmittanza perpendicolare:
: <math>T_S =\frac {n_2}{n_1}\left(\frac {E_{tS}}{E_{iS}}\right)^2= \frac {n_2}{n_1} \frac{4\sin^2 (\theta_t)\cos^2 (\theta_i)}{\sin^2 (\theta_t + \theta_i)}</math>
e la trasmittanza trasversa:
: <math>T_P=\frac {n_2}{n_1}\left(\frac {E_{tP}}{E_{iP}}\right)^2= \frac {n_2}{n_1} \frac{4\sin^2 (\theta_t)\cos^2 (\theta_i)}{\sin^2 (\theta_i + \theta_t)\cos^2 (\theta_i - \theta_t)}</math>
 
===[[w:Angolo_di_Brewster|Angolo di Brewster]]===
Esiste un angolo particolare detto [[w:Angolo_di_Brewster|angolo di Brewster]] per il quale:
<math>\tan (\theta_t + \theta_i)=\infty \ </math> e quindi <math>R_S =0\ </math>. Di conseguenza l'onda risulta polarizzata nella direzione perpendicolare al piano di incidenza cioè <math>R_P \ne 0\ </math>.
L'angolo di Brewster è l'angolo di incidenza per cui:
:<math>\theta_B=\tan^{-1} \frac {n_2}{n_1}\ </math>
infatti dovendo essere:
:<math>\tan (\theta_t + \theta_i)=\infty \longrightarrow \theta_t=\pi/2-\theta_i\ </math>
ma per la leggi di Snell:
:<math>n_1\sin \theta_i=n_2\sin \theta_t\ </math>
Imponendo che sia verificata la condizione di sopra:
:<math>n_1\sin \theta_B=n_2\sin (\pi/2-\theta_B)=n_2\cos \theta_B\ </math>
Quindi:
:<math>\tan \theta_B=\frac {n_2}{n_1}\longrightarrow \theta_B=\tan^{-1} \frac {n_2}{n_1}\ </math>
Anche se l'incidenza non è pari all'angolo di Brewster i raggi riflessi sono parzialmente polarizzati. La ragione per cui per evitare di essere abbagliati si usano occhiali con lenti polarizzate che eliminano una componente riflessa.
 
L'angolo di Brewster è diverso dall'angolo limite o critico. La figura chiarisce la differenza.
 
[[Immagine:fresnel2.png]]
 
=== Incidenza normale===
Per incidenza normale cioè per <math>\theta_i=\pi/2\ </math>, non vi è distinzione tra componente parallela e perpendicolare, la riflettanza e la trasmittanza diventano semmplicemente:
: <math>R = R_S = R_P = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2</math>
: <math>T = T_P = T_P = 1-R = \frac{4 n_1 n_2}{\left(n_1 + n_2 \right)^2} </math>