Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni
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(dove la corrente raggiunge il primo massimo); c) la percentuale di energia persa in 1/4 di pseudoperiodo.
<span class="noprint">[[#14. Circuito risonante oscillante_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
===15. Circuito RLC smorzato ===
Il circuito mostrato è costituito da un condensatore di capacità <math>C=1\ \mu F\ </math> che prima di aprire l'interruttore ha una carica <math>Q_0=10\ \mu C</math>. Mentre l'induttanza vale <math>L=0.1\ mH\ </math> e la resistenza vale <math>R=1\ k \Omega\ </math>.
Determinare : a) l'andamento della carica in funzione del tempo e a <math>t=1\ ms</math>;
b) l'andamento della corrente nella maglia nel tempo e a <math>t=1\ ms</math>;
c) le energie immagazzinate nella capacità e nell'induttanza dopo <math>t=1\ ms</math> dalla chiusura dell'interruttore.
<span class="noprint">[[#15. Circuito RLC smorzato_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
===14. Circuito risonante oscillante===
Line 63 ⟶ 70:
:<math>E_c=\frac {Q(T/4)^2}{2C}=0.1\ \mu J</math>
trascurabile rispetto a quella nella induttanza.
===15. Circuito RLC smorzato===
<span class="noprint">[[#15. Circuito RLC smorzato|→ Vai alla traccia]]</span>
Le condizioni iniziali del problema sono:
<math>Q(t=0)=Q_0\ </math> e <math>I(t=0)=0\ </math>.
Mentre l'equazione della maglia è:
:<math>\frac QC=RI+L\frac {dI}{dt}\ </math>
Essendo: <math>I=-dQ/dt\ </math> si può anche scrivere:
:<math>L\frac {d^2 Q}{dt^2}+R\frac {dQ}{dt}+\frac QC=0\ </math>
La soluzione generica di una equazione differenziale di questo genere è la combinazione lineare
di due soluzioni esponenziali, infatti sostituendo a <math>Q\ </math> una generica <math>A e^{\alpha t}\ </math> si ha che la equazione differenziale
diventa equivalente a :
:<math>L\alpha^2 Ae^{\alpha t}+R\alpha Ae^{\alpha t}+\frac {Ae^{\alpha t}}C=0\ </math>
Che quindi diventa una equazione di II grado in <math>\alpha\ </math>:
:<math>L\alpha^2 +R\alpha +\frac {1}C=0\ </math>
le cui soluzioni sono:
:<math>\alpha_1=-\frac R{2L}+\sqrt{\frac {R^2}{4L^2}-\frac 1{LC}}\ </math>
:<math>\alpha_2=-\frac R{2L}-\sqrt{\frac {R^2}{4L^2}-\frac 1{LC}}\ </math>
Le due soluzioni sono reali in quanto:
:<math>\frac {R^2}{4L^2}>\frac 1{LC}\ </math>
Detti <math>\tau_1=-1/\alpha_1=1\ ms\ </math> e <math>\tau_2=-1/\alpha_2=0.1\ \mu s\ </math>
La carica nel tempo vale:
:<math>Q(t)=Q_{10}e^{-t/\tau_1}+Q_{20}e^{-t/\tau_2}\approx Q_{10}e^{-t/\tau_1}\ </math>
Mentre la corrente:
:<math>I(t)=\frac {Q_{10}}{\tau_1}e^{-t/\tau_1}+\frac {Q_{20}}{\tau_2}e^{-t/\tau_2}\ </math>
Imponendo le condizioni iniziali:
:<math>Q_{10}+Q_{20}=Q_0\ </math>
:<math>\frac {Q_{10}}{\tau_1}+\frac {Q_{20}}{\tau_2}=0\ </math>
segue che:
:<math>Q_{10}=Q_0(1+\tau_2/\tau_1)\approx Q_0\ </math>
:<math>Q_{20}=-Q_0(1+\tau_2/\tau_1)\approx Q_0\ </math>
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