Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni
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===14. Circuito risonante oscillante ===
[[Immagine:RLC.png|150px|right]]
Il circuito mostrato è costituito da un condensatore di capacità <math>C=1\ \mu F\ </math> che prima di aprire l'interruttore ha una carica <math>Q_0=10\ \mu C</math>. Mentre l'induttanza vale <math>L=0.1\ mH\ </math> e la resistenza vale <math>R=1\ \Omega\ </math>.
Determinare a) l'andamento della carica in funzione del tempo e in particolare dopo uno pseudoperiodo;
b) l'andamento della corrente nella maglia nel tempo e in particolare dopo un 1/4 di pseudoperiodo
(dove la corrente raggiunge il primo massimo); c) la percentuale di energia persa in 1/4 di pseudoperiodo.
(se è possibile approssimare non fare conti esatti)
<span class="noprint">[[#14. Circuito risonante oscillante_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
===14. Circuito risonante oscillante===
<span class="noprint">[[#14. Circuito risonante oscillante|→ Vai alla traccia]]</span>
Le condizioni iniziali del problema sono:
<math>Q(t=0)=Q_0\ </math> e <math>I(t=0)=0\ </math>.
Mentre l'equazione della maglia è:
:<math>\frac QC=RI+L\frac {dI}{dt}\ </math>
Essendo: <math>I=-dQ/dt\ </math> si può anche scrivere:
:<math>L\frac {d^2 Q}{dt^2}+R\frac {dQ}{dt}+\frac QC=0\ </math>
La soluzione generica di una equazione differenziale di questo genere è la combinazione lineare
di due soluzioni esponenziali, infatti sostituendo a <math>Q\ </math> una generica <math>A e^{\alpha t}\ </math> si ha che la equazione differenziale
diventa equivalente a :
:<math>L\alpha^2 Ae^{\alpha t}+R\alpha Ae^{\alpha t}+\frac {Ae^{\alpha t}}C=0\ </math>
Che quindi diventa una equazione di II grado in <math>\alpha\ </math>:
:<math>L\alpha^2 +R\alpha +\frac {1}C=0\ </math>
le cui soluzioni sono:
:<math>\alpha_1=-\frac R{2L}+\sqrt{\frac {R^2}{4L^2}-\frac 1{LC}}\ </math>
:<math>\alpha_2=-\frac R{2L}-\sqrt{\frac {R^2}{4L^2}-\frac 1{LC}}\ </math>
Le due soluzioni non sono reali in quanto:
:<math>\frac {R^2}{4L}<\frac 1C\ </math>
quindi se definiamo: <math>\omega=\sqrt{\frac 1{LC}-\frac {R^2}{4L^2}}=10^5\ rad/s</math>
(cioè <math>\omega\approx\sqrt{1/(LC)}\ </math>) e <math>\tau=\frac {2L}R=0.2\ ms</math>
La soluzione generale [[Fisica_classica/Correnti_alternate#Circuiti_LRC|è]]:
:<math>Q(t)=Q_oe^{-t/\tau}\left[\cos (\omega t)+\frac 1{\tau \omega}\sin (\omega t)\right]\ </math>
Si definisce pseudoperiodo <math>T=2\pi/\omega\ </math> e quindi:
:<math>Q(T)=Q_oe^{-T/\tau}=7.3\mu C\ </math>
b)
La corrente è data da:
:<math>I(t)=-dQ/dt=\frac {Q_o}{\tau}e^{-t/\tau}\left[\cos (\omega t)+\frac 1{\tau \omega}\sin (\omega t)\right]-
Q_oe^{-t/\tau}\left[-\omega \sin (\omega t)+\frac 1{\tau }\cos (\omega t)\right]\ </math>
:<math>I(t)=Q_oe^{-t/\tau}\left(\omega-\frac 1{\tau^2\omega}\right)\sin (\omega t)\approx Q_oe^{-t/\tau}\omega
\sin (\omega t)\ </math>
Chiaramente il seno ha un massimo quando <math>\omega t=\pi/2\ </math> cioè per <math>t=T/4\ </math>:
:<math>I(T/4)=0.92\ A\ </math>
c)
L'energia iniziale vale:
:<math>E_o=\frac {Q_o^2}{2C}=50\ \mu J</math>
Mentre l'energia immagazzinata nella induttanza dopo T/4 vale:
:<math>E_f=\frac 12LI(T/4)^2=42.5\ \mu J</math>
Quindi la variazione percentuale vale:
:<math>DE=\frac {E_f-E_o}{E_f}=-15\ \%</math>
In realtà al tempo T/4 vi è della carica nella capacità:
:<math>Q(T/4)=Q_oe^{-T/4\tau}\frac 1{\tau \omega}=0.46\ \mu C\ </math>
Quindi vi anche una energia immagazzinata:
:<math>E_c=\frac {Q(T/4)^2}{2C}=0.1\ \mu J</math>
trascurabile rispetto a quella nella induttanza.
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