Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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Questa legge ha rappresentato la vera svolta dell'elettromagnetismo nello sviluppo della società industriale e indica il legame forte esistente tra campi elettrici e magnetici. Per descriverla
con compiutezza bisogna fare delle premesse basate su quanto già detto in precedenza.
 
Il flusso di induzione magnetica attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre eguale a zero, in quanto
non vi sono monopoli magnetici. Possiamo quindi considerare una qualsiasi linea chiusa dello
spazio e associare ad essa una superficie che abbia tale linea come contorno, il flusso attraverso
tale superficie è lo stesso qualsiasi superficie si consideri. Un circuito composto da <math>N\ </math>
spire ha come contorno una linea chiusa dello spazio, ma in realtà il flusso del campo di induzione
magnetica è <math>N\ </math> volte il flusso associato alla linea chiusa considerato: tale flusso
viene chiamato flusso concatenato al circuito considerato.
 
Si deve a [[w:Michael_Faraday|Faraday]] nel 1831 la scoperta che se si ha una variazione nel tempo del flusso magnetico concatenato con un circuito <math> \Phi_B\ </math> si ha una f.e.m. secondo
la relazione algebrica:
 
:<math> f.e.m. = - {{d\Phi_B} \over dt}</math>.
 
Nel seguito precisiamo il significato di questa legge di valore fondamentale. Il segno meno il cui significato è spiegato nella cosiddetta legge di Lenz verrà precisato nel seguito.
 
Vari esempi possono essere dati per illustrare quando si verifica una condizione di questo tipo.
Tradizionalmente si possono raggruppare i vari casi possibili in varie categorie:
 
===Due circuiti accoppiati senza parti in movimento===
[[Immagine:Faraday_emf_experiment.svg|thumb|300px|right|
Esperimento di Faraday con due circuiti accoppiati senza parti in movimento]]
Viene riprodotto uno degli esperimenti originali di Faraday in forma schematica, una batteria alimenta il circuito di sinistra generando una corrente variabile nel tempo. Il circuito di destra ben accoppiato, avvolto sullo stesso toro magnetico, è attraversato da una corrente elettrica, che viene misurata dal [[w:galvanometro|galvanometro]], un strumento che misura la corrente elettrica.
Quando nel circuito di sinistra la corrente diviene stazionaria, nessuna corrente viene più misurata dal galvanometro. La corrente circolante nel circuto di destra dipende dalla variazione
della corrente in quello di sinistra, cioè tende a contrastare o l'aumento del flusso magnetico concatenato o la diminuzione, questo è evidenziato dal segno della corrente misurata nel galvanometro. In questo che in questo caso non si abbia niente in moto e quindi la legge di Faraday rappresenta una assoluta novità, rispetto a leggi precedenti.
 
Nell'esempio di
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#7._Spira_dentro_solenoide|un solenoide con una spira]]
viene chiarito questo caso generale.
 
===Un circuito fisso in un campo magnetico in moto===
[[Immagine:Induction_experiment.png|thumb|400px|right|
Esperimento di Faraday con due circuiti accoppiati con una corrente stazionaria nella bobina
A (in moto) accoppiata ad una bobina più grande B (fissa) che ha in serie un galvanometro G, a sinistra]]
Immaginiamo di avere una piccola bobina A alimentata da un generatore di f.e.m.
e accoppiata ad una bobina maggiore B che ha in serie un galavanometro G. Se il circuito A è fermo nessuna corrente viene misurata dal galavanometro. Mentre se viene mosso come mostrato in figura si genera una f.e.m. misurata dal galvanometro, con un verso tale da contrastare la variazione del flusso concatenato.
 
Il caso più banale è quello che la bobine siano solenoidali. Quando il bordo del solenoide A attraversa la sezione del solenoide B il flusso concatenato nel solenoide B aumenta e viene indotta una corrente nel solenoide B che contrasta l'aumento del campo. L'ampiezza della corrrente indotta dipende dalla velocità e dalla posizione relativa. Infine quando
il bordo riattraversa la sezione del solenoide B il flusso concatenato nel solenoide B diminuisce e si genera una corrente di segno opposto al caso precedente nel solenoide B per contrastare tale variazione del flusso. La stessa cosa si ottiene con un magnete permanente, che genera un campo non uniforme, che si muova rispetto ad una bobina.
 
Il fatto che il moto sia rettilineo non ha nessuna rilevanza, infatti la stessa cosa l'avremmo
anche nel caso di sorgente in moto rotatorio, anzi in questo caso anche una sorgente che sia
uniforme spazialmente genererà nella bobina una f.e.m. indotta.
 
L' esempio di
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#8._Spira_in_un_campo_magnetico_ruotante|una spira
in un campo magnetico ruotante]] chiarisce quanto detto.
 
===Un circuito in moto in un campo magnetico fisso===
Immaginiamo di avere una sorgente fissa di campo magnetico ed un circuito che si muova
rispetto al campo non uniforme.
Il moto del circuito lo supponiamo per semplificare la cosa, rettilineo e uniforme. Come si vede
è il caso simmetrico rispetto a quello indicato prima: ma dal punto di vista della meccanica
classica del tutto equivalente. Infatti entrambi i sistemi sono inerziali e chi si muove rispetto
all'altro non cambia. In ogni caso in questo caso la forza di Lorentz giustifica l'apparire
di una f.e.m.
 
Supponiamo il circuito quadrato di lato <math>a\ </math> ed il campo perpendicolare al
piano del circuito in moto con due lati paralleli alla direzione del moto. Nei due lati
perpendicolari alla direzione del moto si genererà una f.e.m. opposta ma non eguale,
a causa della uniformità del campo di induzione magnetica. Tale differenza è la causa della
f.e.m. indotta.
 
Analogamente, nell'esempio di
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Magnetismo#15. Spira_in_un_campo_magnetico_ruotante|una spira
in un campo magnetico ruotante]] se facciamo ruotare la spira invece del campo, le equazioni
rimangono le stesse come il risultato finale, solo che in questo caso la legge di Faraday si
identifica con la Forza di Lorentz. In realtà che un circuito si muova in un campo fisso, o il circuito si muova in un campo fisso rappresentano lo stesso fenomeno ed è la causa di un fenomeno vistoso.
====[[w:Corrente_parassita|Correnti parassite]]====
[[Image:Eddy currents due to magnet.svg|thumb|200px|Correnti parassite ''(<span style="color:red;">I, rosso</span>)'' indotte in una piastra metallica ''(C)'' in movimento verso destra di un magnete stazionario ''(N)''. Il campo magnetico ''(<span style="color:green;">B, verde</span>)'' è diretto verso il basso. Le correnti generano il proprio campo magnetico ''(<span style="color:blue;">frecce blu</span>)'' che produce una forza di resistenza che si oppone al moto.]]
Le correnti parassite sono causate dal movimento di un conduttore in un campo magnetico. Il moto relativo genera nel conduttore una corrente che può essere anche molto intensa, e quindi produce a sua volta un campo magnetico che tende come vedremo a rallentare la variazione del campo magnetico .
 
La corrente che si sviluppa nel conduttore ha una forma vorticosa perché gli elettroni sono soggetti alla Forza di Lorentz che è perpendicolare alla direzione degli elettroni stessi in movimento.
Quindi, essi ruotano alla loro destra, o sinistra, a seconda del senso del campo applicato e della variazione del campo in aumento o in diminuzione. La resistività del conduttore smorza queste correnti.
 
Le correnti parassite generano perdite di energia riscaldando il conduttore per effetto Joule.
 
I [[w:forno a induzione|forni ad induzione]] e i [[w:Freni_magnetici|freni magnetici]] (quelli usati nei treni, sono un esempio dell'applicazioni di tale effetto.
Questo fenomeno in molte applicazioni risulta negativo ad esempio nei [[w:Trasformatore|trasformatori]] e nei [[w:Motore elettrico|motori elettrici]] determina una diminuzione dell'efficienza. Le perdite avvengono nei nuclei che in questi dispositivi sono conduttori.
Si possono attenuare queste perdite scegliendo un nucleo magnetico che abbia una bassa conducibilità elettrica (ad esempio: [[w:Ferrite|ferriti]], [[w:acciaio al silicio|acciaio al silicio]]) o suddividendo il nucleo magnetico in sottili strati, elettricamente isolati.
 
===Un circuito di dimensioni variabili in un campo magnetico===
A causa del fatto che uno o più lati del circuito si muovano, si ha che sulle cariche libere di tali lati agisce
la forza di Lorentz mutuamente perpendicolare sia al campo che alla direzione del moto;
tale forza genera una f.e.m.. Quindi anche in questo caso la legge di Faraday non aggiunge niente
rispetto alle leggi del magnetismo. Ma è più facile anche in questo caso trattare il problema,
senza fare distinzioni, mediante la legge di Faraday. Questo approccio è seguito nell'esercizio
di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#1._Una_sbarretta_metallica|una sbarretta metallica]].
 
==Legge di [[w:Heinrich_Lenz|Lenz]]==
Il verso delle correnti indotte è tale da generare un campo magnetico
che si oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito.
Tale legge giustifica fisicamente il segno meno che compare nella legge di Faraday.
Infatti la f.e.m.
indotta dalla variazione del flusso concatenato è tale da opporsi alla causa che lo ha generato,
in maniera che se il flusso magnetico esterno aumenta la corrente circolante tende a
rallentare tale
incremento, mentre se diminuisce la corrente circolante tende a lasciare immutato il campo
magnetico iniziale.
 
La legge è ovviamente in accordo con la conservazione dell'energia, se infatti la legge fosse per
assurdo di segno opposto, una piccola variazione del flusso concatenato produrrebbe una maggiore
variazione con un effetto moltiplicativo che violerebbe la conservazione dell'energia.
 
==L'alternatore==
Questa è la più importante applicazione della legge di Faraday per lo sviluppo della
società industriale . Supponiamo di
avere una bobina quadrata realizzata con <math>N\ </math> spire (i
ragionamenti in realtà non dipendono dalla forma, ma per
semplificazione usiamo la forma quadrata) ed un campo magnetico ruotante (rotore) come in figura.
 
[[File:Alternator_1.svg|thumb|250px|right|Schema di un semplice alternatore con un campo magnetico ruotante (rotore) e una spira fissa (statore), viene anche mostrato la corrente indotta nello statore dal campo magnetico ruotante del rotore.]]
 
A causa della rotazione del campo magnetico il flusso
attraverso la bobina varierà in funzione del tempo. Quindi ai capi della bobina si genererà una f.e.m. Se l'area della bobina è <math>S\ </math>, e
<math>\theta\ </math> l'angolo compreso tra la normale (<math>\vec n\ </math>) alla bobina e
la direzione del campo di induzione magnetica (<math>\vec B\ </math>), il flusso
di induzione magnetica concatenato con le <math>N\ </math> spire della bobina
vale:
:<math>\Phi_c(B)=N\vec B\cdot \vec S=N|B|S\cos \theta\ </math>
Se mediante un qualsiasi mezzo propulsivo il rotore viene mantenuto in rotazione con velocità
angolare <math>\omega\ </math> costante allora:
:<math>\theta=\omega t\ </math>
Applicando la legge di Faraday:
:<math>f.e.m=N|B|S\omega \sin \omega t\ </math>
 
Cioè ai capi della bobina vi è una d.d.p. che varia con legge
sinusoidale nel tempo: questo dispositivo si chiama alternatore o
generatore di corrente alternata. Se l'attrito è trascurabile
l'energia meccanica utilizzata per mantenere in rotazione a
velocità angolare fissa viene integralmente trasformata in energia
elettrica dissipata dal carico (un eventuale elemento dissipativo posto ai suoi estremi). Quindi l'alternatore rappresenta il
metodo più usato per trasformare energia meccanica in energia
elettrica, in corrente alternata, che è comoda da trasportare su
grandi distanze. La corrente che circola nel carico (immaginando che sia una semplice resistenza <math>R\ </math>) è semplicemente eguale a:
:<math>I=\frac {N|B|S\omega }R\sin \omega t\ </math>
 
[[File:Jeep_2.5_liter_4-cylinder_engine_chromed_e.jpg|thumb|250px|right|L'alternatore di una automobile con la cinghia metallica trascina il rotore]]
 
Nel fare tale ragionamento si è trascurata una proprietà della bobina che viene definita nel
seguito: la sua induttanza.
 
Studiamo il bilancio energetico di un sistema di questo genera che produce istantaneamente una
potenza elettrica pari a:
:<math>P_e=f.e.m.I=\frac {N^2B^2S^2}R\omega^2 \sin^2 \omega t\ </math>
 
Dal punto di vista [[Fisica_classica/Leggi_di_Laplace#Azione del campo magnetico su circuiti percorsi da corrente|meccanico]] sulla spira a causa del fatto che la spira è un dipolo magnetico immerso in un campo magnetico:
:<math>|\vec m|=NIS\ </math>
 
Su di esso agisce una coppia di momento pari a:
:<math>\vec M=\vec m \times \vec B\ </math>
Che in questo caso specifico, proiettandolo sull'asse <math>z\ </math> di rotazione, vale:
:<math>M_z=NIBS\sin \omega t\ </math>
La potenza meccanica necessaria a mantenere in rotazione a velocità angolare costante un corpo rigido su cui agisce una coppia è pari secondo la meccanica dei corpi rigidi:
:<math>P_m=M_z\omega\ </math>
Sostituendo l'espressione di <math>I\ </math> in <math>M_z\ </math> segue che:
:<math>P_m=\frac {N^2B^2S^2}R\omega^2\sin^2 \omega t\ </math>
 
Cioè in assenza di attrito tutta l'energia meccanica viene trasferita in energia elettrica.
Le centrali elettriche ma anche semplicemente i generatori interni delle automobili
producono energia elettrica mediante tale meccanismo di conversione diretta di energia meccanica in energia elettrica. La figura invece mostra l'alternatore tipico di una automobile che trasforma l'energia meccanica in tutta l'utenza elettrica di una automobile, ricaricando le batterie.
 
==Induttanza==
Il flusso concatenato con un circuito e la corrente che in esso
circola sono direttamente proporzionali: la costante di
proporzionalità viene chiamata induttanza del circuito:
 
<math>L=\frac {\Phi_c(B)}I
\ </math>
 
[[Immagine:Simbindu.png|thumb|200px|right|
Il simbolo di una induttanza]]
 
'E una grandezza puramente geometrica connessa con l'area racchiusa
da un circuito ed il campo magnetico generato nel complesso quando
in detto circuito scorre una corrente elettrica.
Il simbolo
dell'induttanza è mostrato di lato. Le dimensioni fisiche
dell'induttanza sono quelle del rapporto tra un flusso magnetico e
una corrente, nel SI si misura in Henry (<math>H\ </math>)
 
<math>[L]=\frac {[B][l^2]}{[I]}=[T][m]^2[A]^{-1}=[H]\ </math>
 
Il simbolo ricorda vagamente la forma di un solenoide, e in
particolare nel caso di solenoidi sufficientemente lunghi e compatti, è
facile calcolare l'induttanza. Infatti essendo il flusso concatenato
di un solenoide di lunghezza <math>l\ </math>, di raggio <math>r\ </math> e con <math>N\ </math> spire, in
cui scorre una corrente <math>I\ </math>:
 
<math>
\Phi_c(B)=N\mu_{\circ} \frac NlI\pi r^2
\ </math>
 
quindi:
 
<math>L_{solenoide}=\mu_{\circ}\frac {N^2}l\pi r^2\ </math>
 
Il calcolo dell'induttanza per circuiti abbastanza semplici non è
in genere facile. Come regola generale se il circuito è fatto di <math>N\ </math> spire che si
sovrappongono bene l'induttanza cresce con <math>N^2\ </math>. Quindi per bobine semplici di
superficie <math>S\ </math> semplice l'induttanza è circa eguale a:
 
<math>L\approx \mu_{\circ}N^2\sqrt S\ </math>
 
La presenza di materiali ferromagnetici aumenta l'induttanza di
molti ordini di grandezza: è facile costruire induttanze di molti
Henry.
 
A partire da queste considerazioni, la permeabilità magnetica del vuoto, di cui avevamo dato le
dimensioni fisiche a partire dalla formula del campo di induzione
magnetica prodotta da un filo rettilineo, può esprimersi in funzione della unità scelta per la induttanza .nel sistema SI divengono adesso:
:<math>\mu_{\circ}=4\pi \times 10^{-7}\ H/m\ </math>
Per geometrie semplici l'induttanza cresce linearmente con le
dimensioni lineari e per spire estremamente vicine con il quadrato
del numero delle spire.
 
==Mutua induttanza==
[[File:Mutually_inducting_inductors.PNG|thumb|300px|Simbolo della mutua induttanza di due circuiti, n ed m sono il numero di spire del primario e secondario, mentre i punti indicano che le bobine sono avvolte in maniera concorde ]]
 
Dati due circuiti chiaramente il flusso magnetico dell'uno si
concatenerà con l'altro. Il rapporto tra il flusso concatenato su
di uno e la corrente che scorre sull'altro viene chiamata mutua
induzione.
:<math>M=M_{12}=\frac {\Phi_{c1}}{I_2}=M_{21}=\frac {\Phi_{c2}}{I_1}\ </math>
 
Notiamo come la mutua induzione gode della proprietà di reciprocità, cioè la mutua induzione
di un primo circuito rispetto ad un secondo è pari alla mutua induzione del secondo sul
primo.
 
La dimostrazione si può fare in maniera rigorosa ma richiede di richiamare il collegamento con il [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Potenziale_vettore|potenziale vettore]]:
<math>M_{12}=\frac 1{I_1}\int_{S2}\vec B_1\cdot \vec dS_2=\frac 1{I_1}\frac {\int_{S2}\vec \nabla \times \vec A_1\cdot \vec dS_2}{I_1}\ </math>
Per il teorema di Stokes, definendo con <math>l_{2}\ </math> la linea che costituisce il contorno di <math>S_{2}\ </math>:
<math>\int_{S2}\vec \nabla \times \vec A_1\cdot \vec dS_2=\oint_{l_2}\vec A_1\cdot \overrightarrow {dl_2} </math>
Quindi:
<math>M_{12}=\frac 1{I_1}\oint_{l_2}\vec A_1\cdot \overrightarrow {dl_2} \ </math>
Se chiamiamo <math>l_{2}\ </math>
 
A causa quindi della
reciprocità si ha che:
 
<math>M=M_{12}=M_{21}\ </math>
 
A partire dalla definizione analitica si ha anche che:
 
<math>M=k\sqrt{L_1L_2}\ </math>
 
Definendo <math>0\le k\le 1\ </math> la costante di accoppiamento tra i due
circuiti.
 
Due esempi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#2._Mutua_induzione_tra_spire_quadrate|Mutua induzione tra due spire quadrate]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#6._Due_spire|Due spire]] possono aiutare a capire i concetti espressi.
 
==Cenno sui [[w:Trasformatore|trasformatori]]==
 
[[File:Single-phase transformer.svg|thumb|left|300px|Schema di principio di un toro di materiale ferromagnetico con due avvolgimenti: un tipico trasformatore]]
 
[[File:Transformer Iron Core.svg|thumb|150px|Simbolo circuitale del trasformatore]]
In un toro di materiale ferromagnetico di sezione costante <math>S\ </math> e
lunghezza media <math>l\ </math> con permeabilità magnetica <math>\mu_r\ </math> su cui sono
avvolte <math>N\ </math> spire
tutto il flusso rimane confinato nell'interno del toro ed utilizzando il teorema della
circuitazione di Ampere, si trova che il campo di induzione magnetica
vale all'interno del toro:
 
<math>B=\mu_o\mu_r \frac {NI}l\ </math>
 
e di conseguenza l'induttanza vale:
 
<math>L=\mu_o \mu_r N^2 \frac Sl\ </math>
 
Se i circuiti avvolti sono due con <math>N_1\ </math> ed <math>N_2\ </math> spire,
l'accoppiamento tra i circuiti è il massimo possibile e di
conseguenza la mutua induzione vale:
 
<math>M=\mu_o \mu_r N_1N_2 \frac Sl\ </math>
 
I circuiti di questo tipo sono alla base di quelli che vengono
chiamati i trasformatori.
 
 
==Transitori induttivi==
[[Immagine:Transitorio_induttivo_a.png|thumb|300px|right|
Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza]]
L'introduzione dell'induttanza ci permette di calcolare la f.e.m.
indotta da variazioni di flusso concatenate con circuiti percorsi da
corrente elettrica variabile nel tempo. Immaginiamo di avere un
generatore di f.e.m che viene connesso ad una resistenza in serie
con una induttanza mediante l'interruttore mostrato in figura. La legge di
Faraday si riduce nel caso di una induttanza
all'espressione:
 
<math>f_a=-\frac {d\Phi_c(B)}{dt}=-L\frac {dI}{dt}\ </math>
 
Dove il pedice <math>a\ </math> sta a indicare che si tratta di forza elettromotrice autoindotta che tende a impedire le variazioni di correnti al suo interno.
 
Nel caso specifico abbiamo introdotto una resistenza <math>R\ </math> in serie che
tiene conto della eventuale resistenza interna del
generatore, dell'induttanza (sono entrambe in serie) o una resistenza esterna.
 
L'equazione della maglia nel tempo del circuito deve tenere conto che agisce non solo il
generatore di forza elettromotrice <math>f\ </math>, ma anche la forza elettromotrice autoindotta
<math>f_a\ </math>:
 
<math>f+f_a=RI\ </math>
 
Sostituendo i vari termini:
 
<math>RI=f-L\frac {dI}{dt}\ </math>
 
da cui separando le variabili
 
<math>\frac {dI}{I-f/R}=-\frac RL dt\ </math>
 
definendo <math>\tau=L/R\ </math>, e integrando tra il tempo <math>t=0\ </math> in cui la corrente è nulla ed il tempo generico segue che:
 
<math>\ln \frac {I(t)-f/R}{-f/R}=-\frac t{\tau}\ </math>
 
che diventa:
 
<math>I=\frac fR(1-e^{-t/\tau})\ </math>
 
[[Immagine:Transitorio_induttivo_b.png|thumb|300px|right|
Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza con in parallelo una resistenza
grande]]
 
Il significato della equazione è che a causa della <math>f_a\ </math> in un circuito la corrente non
raggiunge istantaneamente il valore <math>f/R\ </math>, ma si avvicina
asintoticamente con una costante di tempo <math>L/R\ </math>.
 
Il termine <math>-L\frac {dI}{dt}\ </math> dovuto alla legge di Faraday, viene nella maggior parte dei casi considerato una ulteriore d.d.p. e quindi aggiunta con il segno opposto dall'altro lato
della equazione. Questo approccio verrà seguito nel seguito, anche se porta a qualche
contraddizione.
 
Per far vedere il caso opposto, e rendere l'esempio fisicamente credibile
dobbiamo considerare un caso sostanzialmente simile a quello descritto illustrato
nella figura a fianco. Immaginiamo grande la resistenza in parallelo all'induttanza (questo
significa <math>\alpha\gg 1</math>. Secondo questa ipotesi il sistema non è molto differente
dal precendente, infatti ai capi dell'induttanza il circuito è equivalente utilizzando
[[Fisica_classica/Elettrodinamica#Teorema_di_Thevenin|Teorema di Thevenin]], e considerando che
<math>\alpha\gg 1</math> a:
 
<math>R_{th}=R\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx R\ </math>
 
<math>f_{th}=f\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx f\ </math>
 
Quindi se partiamo dalla condizione iniziale illustrata con l'interruttore chiuso (avendo
aspettato un tempo sufficientemente lungo), la corrente che inizialmente scorre nell'induttanza
diviene:
 
<math>I_o\approx \frac fR\ </math>
 
Mentre la d.d.p. ai capi di <math>\alpha R\ </math> sarà nulla.
 
Se a questo punto apriamo l'interruttore avremo la seguente equazione che descrive la maglia:
 
<math>-L\frac {dI}{dt}=\alpha RI\ </math>
 
da cui separando le variabili
 
<math>\frac {dI}{I}=-\frac {\alpha R}L dt\ </math>
 
Se ora definiamo <math>\tau =\frac L{\alpha R}\ </math> ed integriamo (cambiando il nome delle
variabili):
 
<math>\int_{I_o}^I\frac {dI'}{I'}=-\int_0^t\frac {dt'}{\tau}\ </math>
 
Da cui:
 
<math>I(t)=I_oe^{-t/\tau }\ </math>
 
La tensione ai capi della resistenza (di polarità opposta a quando è collegato al generatore di f.e.m. diventa:
 
<math>V(t)=I_o\alpha R e^{-t/\tau }\approx \alpha fe^{-t/\tau }\ </math>
 
Alcuni esempi permettono di comprendere quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#3._Induttanza_con_2_resistenze|induttanza e due resistenze]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#4._Induttanza_con_3_resistenze|induttanza e tre resistenze]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#5._Spira_e_solenoide|spira tonda e solenoide]]
==Energia magnetica==
Il fenomeno della iniezione di corrente su una induttanza con una resistenza in serie da parte di un generatore di f.e.m. possiamo esaminarlo dal punto di vista del generatore riscrivendo l'equazione del transitori vista precedentemente come:
:<math>f=RI+L\frac {dI}{dt}\ </math>
Moltiplicando tutti i termini per la corrente che istantaneamente scorre nella maglia:
:<math>fI=RI^2+LI\frac {dI}{dt}\ </math>
Quindi integrando nel tempo i vari termini:
:<math>\int_0^tfIdt'=\int_0^tRI^2dt'+\int_0^tLI\frac {dI}{dt}dt'\ </math>
:<math>\int_0^tfIdt'=\int_0^tRI^2dt'+L\int_0^ILI'dI'\ </math>
abbiamo da una parte l'energia totale formata dal generatore e dall'altra due termini, il primo l'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza e il secondo:
:<math>E_L=L\int_0^ILI'dI'=\frac 12 LI^2\ </math>
è un termine che qui viene definito per la prima volta l'energia immagazzinata nell'induttanza. Tale energia viene accumulata sotto forma di energia magnetica, come si può far vedere nel caso più generale, qui ci limitiamo al caso particolare di un solenoide molto lungo e compatto,per il quale l'induttanza vale:
:<math>L=N^2\mu_o \frac {\pi r^2}l </math>
Dove <math>N\ </math> è il numero di spire, <math>r\ </math> il raggio, ed <math>l\ </math> la lunghezza.
:<math>E_L=\frac 12 N^2\mu_o \frac {\pi r^2}l I^2\ </math>
 
Ma in un solenoide:
:<math>B=\mu_o \frac {N}l I </math>
Per cui si può riscrivere l'equazione precedente come:
:<math>E_L=\frac 1{2 \mu_o}B^2l\pi r^2\ </math>
Ma <math>l\pi r^2\ </math> è il volume racchiuso dal solenoide in cui il campo magnetico è costante, quindi l'energia immagazzinata nel campo magnetico per unità di volume vale:
:<math>u_M=\frac 1{2 \mu_o}B^2\ </math>
 
[[Fisica_classica/Correnti alternate| Argomento seguente: Correnti alternate]]
[[Categoria:Fisica classica|Induzione e legge di Faraday]]
 
 
{{Avanzamento|100%|21 novembre 2016}}