Fisica classica/Induzione e legge di Faraday: differenze tra le versioni
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m erronea derivata parziale |
aggiunta la giustificazione della reciprocità della mutua induzione. |
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Si deve a [[w:Michael_Faraday|Faraday]] nel 1831 la scoperta che se si ha una variazione nel tempo del flusso magnetico concatenato con un circuito <math> \Phi_B\ </math> si ha una f.e.m. secondo
la relazione algebrica:
:<math> f.e.m. = - {{d\Phi_B} \over dt}</math>.
Nel seguito precisiamo il significato di questa legge di valore fondamentale. Il segno meno il cui significato è spiegato nella cosiddetta legge di Lenz verrà precisato nel seguito.
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==Mutua induttanza==
[[File:Mutually_inducting_inductors.PNG|thumb|300px|Simbolo della mutua induttanza di due circuiti, n ed m sono il numero di spire del primario e
Dati due circuiti chiaramente il flusso magnetico dell'uno si
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di uno e la corrente che scorre sull'altro viene chiamata mutua
induzione.
:<math>M=M_{12}=\frac {\Phi_{c1}}{I_2}=M_{21}=\frac {\Phi_{c2}}{I_1}\ </math>▼
▲<math>M=M_{12}=\frac {\Phi_{c1}}{I_2}=M_{21}=\frac {\Phi_{c2}}{I_1}\ </math>
Notiamo come la mutua induzione gode della proprietà di reciprocità, cioè la mutua induzione
di un primo circuito rispetto ad un secondo è pari alla mutua induzione del secondo sul
primo.
La dimostrazione si può fare in maniera rigorosa ma richiede di richiamare il collegamento con il [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Potenziale_vettore|potenziale vettore]]:
<math>M_{12}=\frac 1{I_1}\int_{S2}\vec B_1\cdot \overrightarrow {dS_2}=\frac 1{I_1}\int_{S2}\vec \nabla \times \overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dS_2}\ </math>
Per il teorema di Stokes, definendo con <math>l_{2}\ </math> la linea che costituisce il contorno di <math>S_{2}\ </math>:
<math>\int_{S2}\vec \nabla \times \overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dS_2}=\oint_{l_2}\vec A_1\cdot \overrightarrow {dl_2} </math>
Quindi:
<math>M_{12}=\frac 1{I_1}\oint_{l_2}\overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dl_2} \ </math>
Se chiamiamo <math>l_{1}\ </math> la linea che costituisce il contorno di <math>S_{1}\ </math>:
<math>\overrightarrow {A_1}=\frac {\mu_o}{4\pi}I_1\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {dl_1}}{|r_{12}|}\ </math>
Quindi:
<math>M_{12}=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_1}\oint_{l_2}\frac {\overrightarrow {d1_1}\cdot \overrightarrow {dl_2}}{|r_{12}|} \ </math>
Ripetendo l'analogo ragionamento per <math>M_{21}\ </math>:
<math>M_{21}=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_2}\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {d1_2}\cdot \overrightarrow {dl_1}}{|r_{21}|} \ </math>
Poiché il prodotto scalare come l'integrale di linea non dipendono dall'ordine dei fattori, la mutua induzione tra due circuiti è una grandezza geemetrica unica.
Numericamente il calcolo della mutua induzione viene fatto utilizzando la formula data per calcolare la reciprocità tra <math>M_{12}\ </math> ed <math>M_{21}\ </math>
Ma anche l'induttanza di un circuito è calcolabile numericamente con una espressione simile:
<math>L=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_1}\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {d1_1}\cdot \overrightarrow {dl_2}}{|r_{21}|} \ </math>
A causa quindi della
reciprocità si ha che:
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