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{{capitolo
|Libro=Fisica classica
|NomeLibro=Fisica classica
|CapitoloPrecedente=Leggi di Laplace
|NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Leggi_di_Laplace
|CapitoloSuccessivo=Magnetismo della materia
|NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Magnetismo_della_materia
}}
L'assenza di monopoli magnetici comporta che le linee del
vettore induzione magnetica siano sempre delle linee chiuse. Quindi data una
qualsiasi superficie chiusa il numero di linee entranti è eguale a quello
di quelle uscenti. Quindi il flusso del campo magnetico attraverso una
qualsiasi superficie chiusa (<math>S chiusa\ </math>) sarà nullo.
== Seconda equazione di Maxwell==
Consideriamo quindi una una qualsiasi superficie chiusa '''S''' che delimita un volume '''T'''.
:<math>\int_S d\Phi (\vec B)=\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math>
Applicando il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] possiamo riscrivere tale equazione come:
:<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot \vec B {d\tau }=0\ </math>
Ma la scelta della superficie e di conseguenza del volume '''T''' (di cui <math>d\tau\ </math>
rappresenta l'elemento infinitesimo di volume) è del tutto arbitraria, per cui valere tale identità è necessario che l'integrando sia nullo cioè si ha che:
:<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0\ </math>
Notiamo che da un punto di vista matematico si può ottenere lo stesso risultato in maniera analitica sviluppando analiticamente la divergenza del più generico campo di induzione magnetica che:
:<math>\vec \nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\nabla \cdot \oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}\ </math>
Dopo una serie di passaggi matematici, si trova che tale quantità è identicamente eguale a 0, tale trattazione si può trovare ad esempio nel libro di Mencuccini-Silvestrini
<ref>C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Liguori editore 1998 pag.252 ISBN 978-88-207-1633-2 </ref>.
== Teorema di Ampère in forma integrale ==
Dobbiamo quindi scrivere per il magnetismo l'equazione analoga al
teorema di Gauss dell'elettrostatica, che ci ha permesso
di rimuovere tra l'altro la singolarità del campo elettrico
nell'origine delle coordinate dove sia presente una carica
puntiforme. Infatti se alla carica puntiforme sostituiamo una nuvola
sferica (o un'altra qualsiasi distribuzione di carica di dimensione
misurabile) il campo elettrico non andrebbe all'infinito
nell'origine, ma tende a un valore finito (nullo per la sfera
uniformemente carica). Il teorema di Gauss ci ha permesso inoltre di
calcolare il campo elettrico in situazioni dotate di particolare
simmetria: il teorema di Ampère che viene dimostrato nel seguito in
un caso particolare rappresenta nel magnetismo l'analogo del teorema
di Gauss per l'elettrostatica.
[[Image:Ampere.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno ad un filo rettilineo indefinto
percorso da una corrente I]]
La figura a fianco mostra una linea qualsiasi <math>\ell\ </math> che racchiude
un filo indefinito rettilineo percorso da una corrente <math>I\ </math>, tale
filo attraversa in un punto qualsiasi l'interno dell'area delimitata
da tale linea. Immaginiamo che la corrente del filo sia uscente
dal piano del foglio, calcoliamo la circuitazione di
:<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi
Dove <math>\hat t\ </math> è il versore tangente alla circonferenza di raggio
<math>r\ </math> (quindi rappresenta la direzione di <math>\overrightarrow{B}\ </math>), il
prodotto scalare <math>\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}\ </math> rappresenta
il tratto <math>d\ell_n\ </math> di circonferenza.
Quindi:
:<math>\frac
{\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}r=\frac {d\ell_n}r=d\theta\ </math>
[[Image:Ampere2.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione all'esterno di un filo rettilineo indefinto
percorso da una corrente I]]
è pari all'angolo
sotteso dall'elemento <math>\overrightarrow{d\ell}\ </math> della linea chiusa
<math>\ell\ </math>
si ha quindi che:
:<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot
\overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell}
d\theta=\mu_o I\ </math>
Infatti gli estremi di integrazione sono compresi tra un angolo
qualunque di partenza <math>\theta_o\ </math> e <math>\theta_o+2\pi\ </math>.
Qualora la linea chiusa non sia concatenata con il filo, come nella
figura a fianco. L'integrale di linea lungo <math>l_1\ </math> è eguale ad un angolo eguale ed opposto a quello lungo <math>l_2\ </math>. Cioè algebricamnete si ha :
:<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot
\overrightarrow{d\ell}= \int_{\ell_1}\vec B \cdot
\overrightarrow{d\ell}+\int_{\ell_2}\vec B \cdot
\overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\left( \int_{\ell_1}d\theta+ \int_{\ell_2}
d\theta \right)=0\ </math>
In termini più generali si può
scrivere che:
:<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot
\overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell}
d\theta=N\mu_o I\ </math>
[[Image:Ampere3.png|thumb|250px|Cammino di integrazione che si concatena 2 volte attorno
ad un filo percorso da corrente]]
Dove <math>N\ </math> rappresenta il numero di volte per cui la linea <math>\ell\ </math> si
concatena col filo percorso da corrente. Se la corrente non è
concatenata (<math>N=0\ </math>) la circuitazione di <math>\overrightarrow{B}\ </math> è
nulla; se la linea è concatenata una volta solo allora si ha la prima equazione vista.
Se la linea è concatenata come nell'esempio a
fianco due volte <math>N=2\ </math> e così via. Osserviamo che la
circuitazione non dipenda dalla forma della linea <math>\ell\ </math> scelta.
Ma solo dal grado di concatenazione con il filo scelto; in
particolare si ottiene lo stesso risultato anche integrando su una
linea chiusa che giri intorno al filo molto vicino al filo stesso.
Poiché razionalmente quando andiamo molto vicino al filo il
campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> prodotto dipende principalmente da una
porzione molto piccola del filo e che localmente può essere
rappresentata come rettilinea, ci aspettiamo, che la relazione valga
in un caso generale, qualunque sia la forma del filo percorso da
corrente <math>I\ </math>. Se inoltre il campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> viene
generato da più circuiti tenendo conto della proprietà di
additività del campo di induzione magnetica si ha che:
:<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell}
d\theta=\mu_o \sum I_i\ </math>
Dove <math>\sum I_i\ </math> è la somma delle varie correnti <math>I_i\ </math>
ciascuna concatenata in maniera diversa con il circuito <math>i\ </math>. Nella
sommatoria le correnti vanno prese col segno positivo o negativo a
seconda del loro verso.
Il teorema della circuitazione nella sua forma completa è
chiamata legge di Ampère e rappresenta per il magnetismo l'equivalente del teorema di Gauss dell'elettrostatica.
== Il Teorema di Ampère in forma differenziale==
Consideriamo una linea '''l''' che delimita una regione di spazio '''S'''. La corrente totale che attraversa tale regione di spazio vale:
<math>\int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}=I\ </math>
Quindi dalla legge di Ampère in forma integrale:
<math>\oint_l\vec B \overrightarrow {dl}=\mu_o \int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}\ </math>
Applicando il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Il_teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]]
al primo membro:
:<math>\int_S\vec \nabla \times \vec B {dS}=\mu_o \int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}\ </math>
Dall'eguaglianza degli integrali qualsiasi sia la superficie di integrazione segue che gli integrandi debbono essere eguali cioè:
:<math>\vec \nabla \times \vec B =\mu_o \vec J\ </math>
Tale espressione è la IV equazione di Maxwell (ma in realtà vale solo in condizioni di campi elettrici non variabili nel tempo)
== Alcuni esempi di applicazione della legge di Ampère==
=== Campo di un filo di raggio non trascurabile===
[[Image:Filog.png|thumb|350px|left|Un cilindro di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente uniforme ed un cammino circolare coassiale di raggio r ]]
Consideriamo un filo rettilineo di raggio <math>R_1\ </math> percorso
da una corrente <math>I\ </math> come in figura.
A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica
(è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola
della mano destra) ed ha una intensità pari a:
:<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad r>R_1\ </math>
Consideriamo una circonferenza concentrica al filo, tratteggiata nella figura, ma di raggio <math>r<R_1\ </math>,
la densità di corrente elettrica vale:
:<math>|J|=\frac I{\pi R_1^2}\ </math>
Quindi l'applicazione del teorema di Ampere a questo circuito chiuso comporta che:
:<math>|B|2\pi r=\mu_o |J|\pi r^2=\mu_o \frac I{\pi R_1^2}\pi r^2\qquad r<R_1\ </math>
:<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math>
Cioè il campo di induzione magnetica non diverge, ma si annulla al
centro del filo.
=== Campo di un cavo coassiale===
[[Image:Coax.png|thumb|350px|left|Un cavo coassiale percorso al centro da una corrente I e sulla guaina esterna da una corrente -I]]
Analogamente dato un cavo coassiale percorso da una corrente <math>I\ </math> nel filo centrale di
raggio <math>R_1\ </math> e da una corrente <math>-I\ </math> nel conduttore esterno di raggio <math>R_2\ </math> e spessore trascurabile.
Applicando il teorema di Ampere avrò rispettivamente:
:<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math>
A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica
(è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola
della mano destra) ed ha una intensità pari a:
:<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad R_1<r<R_2\ </math>
ed infine:
:<math>|B|=0\qquad r\ge R_2\ </math>
In quanto la corrente totale all'interno di una circonferenza di
raggio <math>r>R_2\ </math> è nulla infatti ho al suo interno sia l'andata
della corrente su filo interno che il ritorno sul filo esterno. Un
cavo coassiale oltre a concentrare nel suo interno le linee del
campo elettrico, concentra anche le linee del campo magnetico,
delimitando al suo interno al regione di spazio in cui è presente
il campo.
=== Campo di un solenoide ideale===
[[Image:Solen.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno alle spire di un solenoide ideale]]
Un solenoide è caratterizzato oltre che dal suo raggio <math>R\ </math>, dal numero di
spire per unità di lunghezza <math>n\ </math>. Il caso ideale qui considerato prevede che la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al raggio e che le spire siano molto fitte, si può verificare anche sperimentalmente che, il campo magnetico generato all'esterno è molto
debole, rispetto a quello interno, tanto da poterlo considerare nullo. Inoltre la componente del campo
nella direzione perpendicolare all'asse è trascurabile.
Consideriamo un rettangolo come quello rappresentato in figura che
attraversi il lato del solenoide e eseguiamo la circuitazione di <math>\vec
B\ </math> attraverso tale cammino. Essendo <math>\vec B\ </math> normale ai lati <math>2\ </math> e
<math>4\ </math> il suo contributo alla circuitazione è nullo. Il campo è
trascurabile quindi nullo all'esterno del solenoide quindi:
:<math>\oint_l\vec B\cdot \vec {dl}=|B|l_1\ </math>
ma la corrente all'interno di tale circuito vale:
:<math> nl_1I\ </math>
Quindi:
:<math>|B|=\mu_o nI\ </math>
Tale risultato riproduce quanto ricavato, in maniera più generale, sovrapponendo il campo
di molte spire circolari.
Il solenoide rappresenta nel magnetismo l'analogo del condensatore a facce piane e parallele
dell'elettrostatica. In quanto genera in una vasta regione di spazio un campo uniforme.
==Potenziale vettore==
In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore <math>\overrightarrow{A}\ </math> come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico:
:<math>\overrightarrow{B} = \vec \nabla \times \overrightarrow{A} </math>
Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria <math>f(\vec r)</math>, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:
:<math>\vec \nabla \times \vec A + \vec \nabla f(\vec r) = \vec \nabla \times \vec A</math>
In quanto per
Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza:
:<math>\mathbf \nabla \cdot (\mathbf A_0 + \mathbf \nabla \phi) = \mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0 + \mathbf \nabla \mathbf \nabla \phi = \mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0 + \mathbf \nabla^2 \phi</math>
ed è possibile scegliere un'opportuna funzione <math>\phi</math> in modo tale che:
:<math>\mathbf \nabla^2 \phi = -\mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0</math>
così che la divergenza di <math>\mathbf A_0</math> sia nulla:
:<math>\mathbf \nabla \cdot (\mathbf A_0 + \mathbf \nabla \phi) = 0 </math>.
Sfruttando la precedente relazione, e applicando il rotore all'equazione del potenziale vettore si ottiene:
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = \mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \times \mathbf A_0 = (\mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0) \cdot \mathbf \nabla - \mathbf \nabla^2 \mathbf A_0 = - \mathbf \nabla^2 \cdot \mathbf A_0</math>
e ricordando la [[Legge di Ampere]] si ha che:
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = - \mathbf \nabla^2 \cdot \mathbf A_0 = \mu_0 \rho_E \mathbf v</math>.
Questo implica che le componenti di <math>\mathbf A_0</math> verificano l'[[equazione di Poisson]]:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 274|mencuccini}}</ref>
:<math>\begin{cases} \nabla^2 A_{0x} = - \mu_0 \rho_E v_x \\ \nabla^2 A_{0y} = - \mu_0 \rho_E v_y \\ \nabla^2 A_{0z} = - \mu_0 \rho_E v_z \end{cases}</math>
La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 260|mencuccini}}</ref>
:<math>\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\mathbf \rho_E \mathbf v(\mathbf r')}{|\Delta \mathbf r|} dV'</math>
In particolare, per circuiti filiformi:
:<math>\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_{l'} \frac {d\mathbf l'}{|\Delta \mathbf r|}</math>.
==Note==
{{references}}
[[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia| Argomento seguente: Magnetismo della Materia]]
[[Categoria:Fisica_classica|Legge di Ampère]]
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