Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Rappresentazione geometrica delle funzioni booleane e loro minimizzazione: differenze tra le versioni
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== Diagrammi di Venn ==
I diagrammi di Venn sono una rappresentazione grafica delle relazioni tra insiemi, ed in particolare , delle operazioni di unione, intersezione e complementazione. Si è visto inoltre che ogni algebra di insiemi con le operazioni sopra citate è un'algebra du Boole. Ne segue che questi diagrammi di Venn possono essere utilizzati per rappresentare le operazioni sulle funzioni di commutazione che formano esse stesse un'algebra di Boole. Per fare ciò è sufficiente utilizzare la seguente corrispondenza tra gli insiemi e le funzioni booleane: ad ogni insieme '''E<sub>i</sub>''' si associa la funzione cararreistica '''X<sub>i</sub>'''.
Questo comporta la corrispondenza tra operazioni su insiemi e funzioni caratteristiche:
:::::'''<math>E_i\cup E_j\iff X_i+ X_j</math>'''<br/>
:::::<math>E_i\cap E_j\iff X_i\cdot X_j</math><br/>
::::::<math>\bar E\iff \bar X_i</math><br/>
Dati '''n''' insiemi '''E<sub>1</sub>...E<sub>n</sub>''' rappresentati su un diagramma di Venn, essi definiscono 2<sup>n</sup> sottoinsiemi caratterizzati dalla loro '''inclusione''' o '''non inclusione''' in ciascuno degli insiemi '''E<sub>1</sub>...E<sub>n</sub>'''.
[[File:Venn diagram of subsets of three sets.png|right]]▼
Ogni insieme esistente nel diagramma di Venn può essere definito mediante una selezione degli insiemi '''E<sub>1</sub>...E<sub>n</sub>''':
[[File:Tavola di definizione di una funzione caratteristica.png|right]]<br/>▼
[[File:Riunione di insiemi disgiuinti.png|right]] ▼
La funzione caratteristica '''E''' definita nella tavola (8.1) è quindi rappresentata dall'insieme E dal diagramma di Wenn (8.2).
E è dato dagli insiemi colorati.
L'insieme '''E''' può essere anche definito mediante una espressione:
:<math>E=(\bar E_1\cap \bar E_2\cap E_3)\cup (\bar E_1\cap E_2\cap E_3)\cup (E_1\cap \bar E_2\cap \bar E_3)\cup (E_1\cap E_2\cap E_3)</math><br/>
se ne deduce per '''X''' l'espressione:<br/>
::::<math>X=\bar X_1\bar X_2 X_3+\bar X_1 X_2 X_3+X_1\bar X_2\bar X_3+X_1 X_2 X_3</math><br/>
Ci proponiamo di semplificare le espressioni di '''E''' e di '''X'''<br/>
Line 51 ⟶ 34:
:::<math>[(E_1\cap \bar E_1)\cup (E_2\cap E_3)]\cup [\bar E_1\cap ( E_2\cup \bar E_2)\cap E_3]\cup (E_1\cap \bar E_2\cap \bar E_3)=</math><Br/>
:::<math>(E_2\cap E_3)\cup (\bar E_1\cap E_3)\cup (E_1\cap \bar E_2\cap \bar E_3)</math>
:<math>X=\bar X_1 \bar X_2 X_3+\bar X_1 X_2 X_3+X_1 \bar X_2 \bar X_3+X_1 X_2 X_3</math>=<br/>
Line 58 ⟶ 40:
:::<math>X_2 X_3+\bar X_1 X_3+X_1 \bar X_2 \bar X_3</math>
Ma la semplificazione si può ottenere anche osservando che l'insieme '''E''' può essere ottenuto come:
::1)riunione di 4 insiemi disgiunti (8.2a)<br/>▼
Considerando quindi semplicemente il diagramma di Wenn si ottiene:
Line 118 ⟶ 102:
Se le variabili fossero 5 o 6 si userebbero dei Diagrammi multipli: la forma cui proposta non è l'unica ma quella di uso più corrente.
[[File:Diagramma di Karnaugh a sei vbariabili.png|right]]<br/>
[[ File:Diagramma di Karnaugh a cinque variabili.png|left]]
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