Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica nella materia: differenze tra le versioni
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<span class="noprint">[[#14. Un dielettrico non uniforme_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
===15. Sfera carica dielettrica===
Un dielettrico con costante dielettrica relativa pari a <math>\varepsilon_r\ </math>, di forma sferica di raggio <math>R_2\ </math> è caricato uniformemente nella regione centrale di raggio <math>R_1<R_2\ </math> con una carica totale
<math>Q\ .</math> Determinare a) l'espressione del campo elettrico nella varie regioni di spazio; b) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulla sfera di raggio <math>R_2\ </math>; c) la densità di carica volumetrica di polarizzazione.
<span class="noprint">[[#15. Sfera carica dielettrica_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
== Soluzioni ==
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<span class="noprint">[[#11. Tre gusci|→ Vai alla traccia]]</span>
Il vettore spostamento
:<math>\int_{Sfera\ r\ge R_1}\vec D \cdot \vec {dS}=Q\ </math>
:<math>D_r=\frac Q{4\pi r^2}\quad r\ge R_1 </math>
Line 505 ⟶ 512:
:<math>Q_v=-\frac {adQ}a\int_d^{d+ad}\frac {dy}{y^2}=-Qd\left[-\frac 1y\right]_d^{d+ad}=Qd\left[\frac 1y\right]_d^{d+ad}=Q[1/(1+a)-1]=-\frac {a}{a+1}Q\ </math>
Che è eguale e contraria alla carica superficiale di polarizzazione.
===15. Sfera carica dielettrica===
<span class="noprint">[[#15. Sfera carica dielettrica|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
La densità di carica libera volumetrica è pari a :
:<math>\rho_l=\frac {3Q}{4\pi R_1^3}\ </math>
Applicando il teorema di Gauss generalizzato per i dielettrici all'interno della zona dove è la carica libera:
:<math>D_r4\pi r^2=\frac 43\pi r^3\rho_l \qquad 0\le r \le R_1 </math>
da cui:
:<math>D_r=\frac {\rho_l r}3=\frac {Qr}{4\pi R_1^3} \qquad 0\le r \le R_1 </math>
Mentre all'esterno della zona carica:
:<math>D_r=\frac Q{4\pi r^2} \qquad R_1\le r \le \infty </math>
Quindi possiamo distinguere tre zone per il campo elettrico:
:<math>E_r=\frac {Q r}{4\pi \varepsilon_o\varepsilon_r R^3} \qquad 0\le r \le R_1 </math>
:<math>E_r=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o\varepsilon_r r^2} \qquad R_1\le r \le R_2 </math>
:<math>E_r=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o r^2} \qquad R_2\le r \le \infty </math>
b)
Il vettore di polarizzazione è presente solo nel dielettrico e vale nella parte centrale:
:<math>P_r=\frac {Q r(\varepsilon_r-1)}{4\pi \varepsilon_r R^3} \qquad 0\le r \le R_1 </math>
e in quella più esterna:
:<math>P_r=\frac {Q(\varepsilon_r-1)}{4\pi \varepsilon_r r^2} \qquad R_1\le r \le R_2 </math>
Notiamo che in <math>R_1\ </math> i due valori coincidono (anche se la funzione ha una discontinuità). Quindi non vi è carica superficiale di polarizzazione su tale superficie.
Mentre quella in <math>R_2\ </math> vale:
:<math>\sigma_2=\vec P\cdot \hat n=\frac {Q (\varepsilon_r-1)}{4\pi \varepsilon_r R_2^2}\ </math>
c)
Nella regione non carica del dielettrico (<math> R_1\le r \le R_2 </math>) la divergenza di <math> \vec \nabla P </math> è nulla in quanto:
:<math>\vec \nabla \cdot \left(\frac {\vec r}{r^3}\right)=0\ </math>
e quindi non vi è carica volumetrica.
Mentre nella regione interna la carica di polarizzazione del dielettrico (<math> 0\le r \le R_1 </math>) vale:
:<math>\rho_p=-\vec \nabla \cdot \vec P=-\frac {3Q (\varepsilon_r-1)}{4\pi \varepsilon_r R_1^3}\ </math>
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