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Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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===14. Un dielettrico non uniforme===
 
Un condensatore a facce piane e parallele, di superficie delle armature pari a <math>S=0.1\ m^2\ </math> e distanza tra di esse pari a <math>d=1\ mm</math>, è riempito per metà con un dielettrico di costante dielettrica relativa che <math>\varepsilon_{r1}=3\dipende </math>dalla edistanza l'altratra metàle armature con un dielettrico di costante dielettrica relativa<math>\varepsilon_{r1}=9\ </math>.la legge:▼
:<math>\varepsilon_{r}(x)=1+a\frac xd\ </math>
con <math>x\ </math> la distanza dalla armatura positiva. Vi è una carica di <math>\pm Q\ </math> sulle due armature. Determinare la carica di polarizzazione superficiale e di volume e verificare che la carica totale sul dielettrico è nulla.
 
<span class="noprint">[[#1314. DueUn stratidielettrico innon parallelo_2uniforme_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>▼
===13. Due strati in parallelo===
 
▲Un condensatore a facce piane e parallele, di superficie delle armature pari a <math>S=0.1\ m^2\ </math> e distanza tra di esse pari a <math>d=1\ mm</math>, è riempito per metà con un dielettrico di costante dielettrica relativa <math>\varepsilon_{r1}=3\ </math> e l'altra metà con un dielettrico di costante dielettrica relativa<math>\varepsilon_{r1}=9\ </math>.
Determinare a) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulle due interfacce (I armatura positiva-dielettrico 1),(I armatura dielettrico 2); b) la differenza di potenziale tra le armature; c) la capacità del condensatore.
 
▲<span class="noprint">[[#13. Due strati in parallelo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
== Soluzioni ==
 
===1314. DueUn stratidielettrico innon parallelouniforme===
<span class="noprint">[[#1314. DueUn stratidielettrico innon parallelouniforme|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Il modulo del vettore spostamento elettrico vale:
:<math>|D|=\frac QS=10^{-5}\ C/m^2 </math>
Quindi di conseguenza il modulo del vettore di Polarizzazione nei due dielettrici vale:
:<math>|P_1|=\frac {\varepsilon_{r1}-1}{\varepsilon_{r1}}=-0.66\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>▼
:<math>|P_2|=\frac {\varepsilon_{r2}-1}{\varepsilon_{r2}}=0.89\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
Quindi nell'interfaccia I armatura positiva-dielettrico 1 essendo <math>\vec P_1\ </math>, diretto anti parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:
:<math>\sigma_{M1}=-|P_1|=-0.66\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
Mentre nell'interfaccia dielettrico 2 - II armatura negativa essendo <math>\vec P_2\ </math> diretto parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:
:<math>\sigma_{2M}=|P_2|=0.89\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
Nella interfaccia tra i due mezzi bisogna considerare che <math>\vec P_1\ </math> è diretto parallelamente alla superficie, mentre <math>\vec P_2\ </math> è diretto anti parallelamente. Per cui la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:
:<math>\sigma_{12}=|P_1|-|P_2|=-0.22\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
 
ba)
 
IlLo campospostamento elettrico nelè primopari dielettrico valea:
:<math>|E_1|=\fracvec {|D|}{\varepsilon_{o}\varepsilon_{r1}}=3.76\cdotfrac 10^5QS\hat V/mn\ </math>
avendo indicato con <math>Q\ </math> la carica sull'armatura positiva e con <math>\hat n\ </math> la normale alla stessa armatura.
Nel secondo dielettrico:▼
:<math>|E_2|=\frac {|D|}{\varepsilon_{o}\varepsilon_{r2}}=1.26\cdot 10^5\ V/m\ </math>
Quindi la d.d.p. tra le armature vale:
:<math>\Delta V=|E_1|d_1+|E_2|d_2=176\ V</math>
 
▲NelQuindi secondonel dielettrico:
c)
▲:<math>|P_1|\vec P=\frac {\varepsilon_{r1r}(x)-1}{\varepsilon_{r1r}(x)}\vec D=-0.66\cdotfrac 10^{-5ax}{ax+d}\frac C/m^2QS\hat n\ </math>
 
Quindi sulla interfaccia armatura positiva la carica superficiale di polarizzazione è nulla. Mentre sulla armatura negativa essa vale:
La capacità è eguale a:
:<math>C=\frac QQ_{\Delta Vs}=\varepsilon_{o}\frac {S(\varepsilon_{r1a}+\varepsilon_{r2})}{d_2\varepsilon_{r1}a+d_1\varepsilon_{r21}}= 5.7Q\ nF</math>
La densità volumetrica di carica di polarizzazione vale:
In realtà si poteva anche calcolare considerando che è come se fossero due condensatori in serie uno di capacità:
:<math>C_1\rho_p=-\varepsilon_vec \nabla \cdot \vec P=-\frac {o\partial P_x}{\varepsilon_partial x}=-\frac {r1a(ax+d)-a^2x}{(ax+d)^2}=-\frac {Sad}{d_1(ax+d)^2}\frac QS\ </math>
Quindi la carica totale volumetrica di polarizzazione vale:
e l'altro:
:<math>C_2Q_v=\varepsilon_{o}int_0^d\varepsilon_{r21}rho_pSdx=-adQ\int_0^d\frac {Sdx}{d_2(ax+d)^2}\ </math>
Facendo la sostituzione di variabile: <math>ax+b=y\ </math> si ha:
che in serie sono equivalenti a:
:<math>C_eQ_v=-\frac {C_1C_2adQ}a\int_d^{C1d+C_2ad}=\varepsilon_frac {ody}{y^2}=-Qd\left[-\frac {S(1y\varepsilon_right]_d^{r1}d+ad}=Qd\varepsilon_left[\frac 1y\right]_d^{r2d+ad}=Q[1/(1+a)}{d_2-1]=-\varepsilon_frac {r1a}+d_1\varepsilon_{r2a+1}}= 5.7Q\ nF</math>
Che è eguale e contraria alla carica superficiale di polarizzazione.
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