Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica nella materia: differenze tra le versioni
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===9. Forza tra armature di un condensatore===
Un condensatore a facce piane e parallele ha una superficie delle armature di <math>S=100\ cm^2</math> e distanza <math>z=100\ \mu m</math>. Se
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===12. Due strati in serie===
Un condensatore a facce piane e parallele è riempito completamente con due sottili piani dielettrici omogenei in serie di spessore e costante dielettrica relativa rispettivamente <math>d_1=0.2\ mm</math>, <math>\varepsilon_{r1}=3\ </math>; <math>d_2=0.8\ mm</math>, <math>\varepsilon_{r2}=9\ </math>. La superficie delle armature è pari a <math>S=0.1\ m^2\ </math> e vi è una carica di <math>Q=\pm
Determinare a) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulla tre interfacce (I armatura positiva-dielettrico 1),(dielettrico 1 dielettrico 2), (dielettrico 2 - II armatura negativa); b) la differenza di potenziale tra le armature; c) la capacità del condensatore.
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===13. Due strati in parallelo===
Un condensatore a facce piane e parallele, di superficie delle armature pari a <math>S=0.1\ m^2\ </math> e distanza tra di esse pari a <math>d=1\ mm</math>, è riempito per metà con un dielettrico di costante dielettrica relativa <math>\varepsilon_{r1}=3\ </math> e l'altra metà con un dielettrico di costante dielettrica relativa<math>\varepsilon_{r1}=9\ </math>. Vi è una carica di <math>Q=\pm 1\ \mu C</math> sulle due armature.
Determinare a) il modulo del campo elettrico nei due dielettrici; b) la differenza di potenziale tra le armature; c) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulle due interfacce (I armatura positiva-dielettrico 1),(I armatura positiva dielettrico 2); d) la capacità del condensatore.
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===14. Un dielettrico non uniforme===
Un condensatore a facce piane e parallele, di superficie delle armature pari a <math>S=0.1\ m^2\ </math> e distanza tra di esse pari a <math>d=1\ mm</math>, è riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa che dipende dalla distanza tra le armature con la legge:
:<math>\varepsilon_{r}(x)=1+a\frac xd\ </math>
con <math>x\ </math> la distanza dalla armatura positiva. Vi è una carica di <math>\pm Q\ </math> sulle due armature. Determinare la carica di polarizzazione superficiale e di volume e verificare che la carica totale sul dielettrico è nulla.
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== Soluzioni ==
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Si noti che essendo la forza diretta nella direzione dello spostamento abbiamo scritto una espressione con grandezze scalari. Il lavoro fatto deve in realtà essere pari alla variazione dell'energia elettrostatica del condensatore che è :
:<math>U =\frac 12 \frac {Q^2}{C}\ </math>
Dove <math>C=\varepsilon_oS/z=0.88\ nF\ </math> è la capacità del condensatore
:<math>dU =\frac 12 Q^2 \frac {d(1/C)}{dz}=\frac {Q^2}{2\varepsilon_oS}dz\ </math>
Cioè diminuisce l'energia accumulata e viene a spese di questa energia fatto un lavoro:
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:<math>C_e=\frac {C_1C_2}{C1+C_2}=\varepsilon_{o}\frac {S(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})}{d_2\varepsilon_{r1}+d_1\varepsilon_{r2}}= 5.7\ nF</math>
===13. Due strati in parallelo===
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a)
Il campo elettrico deve essere lo stesso in tutti e due i dielettrici e vale in modolo <math>E\ </math> . Mentre lo spostamento elettrico è diverso nei due dielettrici,
in modulo:
:<math>D_1=\varepsilon_{o}\varepsilon_{r1}E\ </math>
:<math>D_2=\varepsilon_{o}\varepsilon_{r2}E\ </math>
La carica totale sulla armatura positiva deve valere <math>Q\ </math> e quindi:
:<math>Q=D_1S/2+D_2S/2=\varepsilon_{o}(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})S/2E\ </math>
Quindi il modulo del campo elettrico vale:
:<math>E=\frac {2Q}{S\varepsilon_{o}(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})}=1.88\cdot 10^5\ V/m</math>
b)
La differenza di potenziale tra le armature è semplicemente:
:<math>\Delta V=Ed=188\ V</math>
c)
Il modulo del vettore di Polarizzazione nei due dielettrici vale:
:<math>|P_1|=\varepsilon_{o}(\varepsilon_{r1}-1)E=3.3\cdot 10^{-6} C/m^2 </math>
:<math>|P_2|=\varepsilon_{o}(\varepsilon_{r2}-1)E=1.33\cdot 10^{-5} C/m^2 </math>
Quindi nell'interfaccia I armatura positiva-dielettrico 1 essendo <math>\vec P_1\ </math>, diretto anti parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:
:<math>\sigma_{M1}=-|P_1|=-3.3\cdot 10^{-6}\ C/m^2 </math>
Come anche sull'altra interfaccia:
:<math>\sigma_{M2}=-|P_2|=-1.33\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
d)
La capacità è eguale a:
:<math>C=\frac Q{\Delta V}=\varepsilon_{o}(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})\frac S{2d}= 5.3\ nF</math>
In realtà si poteva anche calcolare considerando che è come se fossero due condensatori in parallelo uno di capacità:
:<math>C_1=\varepsilon_{o}\varepsilon_{r1}\frac {S}{2d}\ </math>
e l'altro:
:<math>C_2=\varepsilon_{o}\varepsilon_{r21}\frac {S}{2d}\ </math>
che in parallelo sono equivalenti a:
:<math>C_e=C_1+C_2=\varepsilon_{o}(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})\frac S{2d}= 5.3\ nF</math>
===14. Un dielettrico non uniforme===
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Lo spostamento elettrico è pari a:
:<math>\vec D=\frac QS\hat n\ </math>
avendo indicato con <math>Q\ </math> la carica sull'armatura positiva e con <math>\hat n\ </math> la normale alla stessa armatura.
Quindi nel dielettrico:
:<math>\vec P=\frac {\varepsilon_{r}(x)-1}{\varepsilon_{r}(x)}\vec D=\frac {ax}{ax+d}\frac QS\hat n\ </math>
Quindi sulla interfaccia armatura positiva la carica superficiale di polarizzazione è nulla. Mentre sulla armatura negativa essa vale:
:<math>Q_{s}=\frac {a}{a+1}Q\ </math>
La densità volumetrica di carica di polarizzazione vale:
:<math>\rho_p=-\vec \nabla \cdot \vec P=-\frac {\partial P_x}{\partial x}=-\frac {a(ax+d)-a^2x}{(ax+d)^2}=-\frac {ad}{(ax+d)^2}\frac QS\ </math>
Quindi la carica totale volumetrica di polarizzazione vale:
:<math>Q_v=\int_0^d\rho_pSdx=-adQ\int_0^d\frac {dx}{(ax+d)^2}\ </math>
Facendo la sostituzione di variabile: <math>ax+b=y\ </math> si ha:
:<math>Q_v=-\frac {adQ}a\int_d^{d+ad}\frac {dy}{y^2}=-Qd\left[-\frac 1y\right]_d^{d+ad}=Qd\left[\frac 1y\right]_d^{d+ad}=Q[1/(1+a)-1]=-\frac {a}{a+1}Q\ </math>
Che è eguale e contraria alla carica superficiale di polarizzazione.
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