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Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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== Energia associata al campo elettrostatico in presenza di materia ==
 
Estendiamo quanto visto nel [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Energia_potenziale_elettrica|vuoto]] alla presenza di materia.
 
===12. Due strati in serie===
Assemblando della cariche (libere) la cui densità finale per unità di volume <math>\rho_L\ </math> in una regione di spazio limitata. Il potenziale locale sarà influenzato dalle cariche libere, come dai dielettrici presenti, ma l'energia necessaria per generare la distribuzione sarà:
:<math>U= \int_T \frac{1}{2} \rho_L V \operatorname{d}\tau</math>
Applicando teorema di Gauss in forma differenziale per il vettore spostamento elettrico:
:<math>U= \int_T \frac{1}{2} \left( \vec \nabla \cdot \vec D\right) V \operatorname{d}\tau\ </math>
Poichè:
:<math> \vec \nabla \cdot \left( \vec DV \right)=\left( \vec \nabla \cdot \vec D \right) V+
\vec D \cdot \vec \nabla V\ </math>
da cui:
:<math>\left( \vec \nabla \cdot \vec D\right) V=\vec \nabla \cdot \left( \vec DV \right)-
\vec D \cdot \vec \nabla V\ </math>
quindi:
:<math> U= \int_T \frac{1}{2}\left[ \vec \nabla \cdot \left( \vec DV \right)-\vec D \cdot \vec \nabla V\right]\operatorname{d}\tau \ </math>
Usando la formula inversa dal potenziale elettrico al campo:
:<math> U= \frac 12 \int_T \vec \nabla \cdot \left( \vec D V \right)\operatorname{d}\tau+\frac{1}{2} \int_T \vec D \cdot
\vec E\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Un condensatore a facce piane e parallele e riempito completamente con due sottili piani dielettrici omogenei in serie di spessore e costante dielettrica relativa rispettivamente <math>d_1=0.2\ </math>, <math>\varepsilon_{r1}=3\ </math>; <math>d_2=0.8\ </math>, <math>\varepsilon_{r1}=9\ </math>. La superficie delle armature è pari a <math>S=0.1\ m^2\ </math> e vi è una carica di <math>\pm Q=1\ \mu C</math> sulle due armature.
Estendendo l'integrale a tutto lo spazio, quindi una sfera di raggio infinito, il primo termine per il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] diventa il flusso del prodotto del campo elettrico che va al minimo con <math>1/R^2\ </math> e del potenziale <math>V\ </math> che almeno va come <math>1/R\ </math> (Entrambi decrescono più velocemente se la carica netta è nulla). Poiché l'integrale superficiale di una sfera va come <math>R^2\ </math> si ha che il primo termine si annulla, quindi rimane solo il secondo termine:
Determinare a) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulla tre interfacce (I armatura positiva-dielettrico 1),(dielettrico 1 dielettrico 2), (dielettrico 2 - II armatura negativa); b) la differenza di potenziale tra le armature; c) la capacità del condensatore.
:<math> U= \frac{1}{2}\int_{Spazio} \vec D\cdot \vec E\operatorname{d}\tau \ </math>
<span class="noprint">[[#12. Due strati in serie_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
== Soluzioni ==
 
===12. Due strati in serie ===
Quindi <math> \frac{1}{2} \vec D\cdot \vec E\ </math> è l'energia per unità di volume del campo elettrostatico.
<span class="noprint">[[#12. Due strati in serie|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Il modulo del vettore spostamento elettrico vale:
:<math>|D|=\frac QS=10^{-5}\ C/m^2 </math>
Quindi di conseguenza il modulo del vettore di Polarizzazione nei due dielettrici vale:
:<math>|P_1|=\frac {\varepsilon_{r1}-1}{\varepsilon_{r1}}=-0.66\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
:<math>|P_2|=\frac {\varepsilon_{r2}-1}{\varepsilon_{r2}}=0.89\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
Quindi nell'interfaccia I armatura positiva-dielettrico 1 essendo <math>\vec P_1\ </math>, diretto anti parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:
:<math>\sigma_{M1}=-|P_1|=-0.66\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
Mentre nell'interfaccia dielettrico 2 - II armatura negativa essendo <math>\vec P_2\ </math> diretto parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:
:<math>\sigma_{2M}=|P_2|=0.89\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
Nella interfaccia tra i due mezzi bisogna considerare che <math>\vec P_1\ </math> è diretto parallelamente alla superficie, mentre <math>\vec P_2\ </math> è diretto anti parallelamente. Per cui la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:
:<math>\sigma_{12}=|P_1|-|P_2|=-0.23\cdot 10^{-5}\ C/m^2 </math>
 
b)
 
Il campo elettrico nel primo dielettrico vale:
:<math>|E_1|=\frac {|D|}{\varepsilon_{o}\varepsilon_{r1}}=3.76\cdot 10^5\ V/m\ </math>
Nel secondo dielettrico:
:<math>|E_2|=\frac {|D|}{\varepsilon_{o}\varepsilon_{r2}}=1.26\cdot 10^5\ V/m\ </math>
Quindi la d.d.p. vale:
:<math>\Delta V=|E_1|d_1+|E_2|d_2\ </math>
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