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Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}
 
== Energia associata al campo elettrostatico in presenza di materia ==
== Interfaccia tra due dielettrici ==
Dall'ultima espressione locale, utilizzando il teorema della divergenza in maniera inversa rispetto a quanto fatto nel vuoto,
si ricava che:
 
Estendiamo quanto visto nel [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Energia_potenziale_elettrica|vuoto]] alla presenza di materia.
<math>\int_{S\ chiusa}\vec D \cdot \vec {dS}=Q_{lib}\ </math>▼
 
Assemblando della cariche (libere) la cui densità finale per unità di volume <math>\rho_L\ </math> in una regione di spazio limitata. Il potenziale locale sarà influenzato dalle cariche libere, come dai dielettrici presenti, ma l'energia necessaria per generare la distribuzione sarà:
Inoltre anche in presenza di materia continua a valere in condizioni elettrostatiche:
:<math>U= \int_T \frac{1}{2} \rho_L V \operatorname{d}\tau</math>
Applicando teorema di Gauss in forma differenziale per il vettore spostamento elettrico:
:<math>U= \int_T \frac{1}{2} \left( \vec \nabla \cdot \vec D\right) V \operatorname{d}\tau\ </math>
Poichè:
:<math> \vec \nabla \cdot \left( \vec DV \right)=\left( \vec \nabla \cdot \vec D \right) V+
▲<math>\int_{S\ chiusa} \vec D \cdot \vec {dS}=Q_{lib}\nabla V\ </math>
da cui:
:<math>\left( \vec \nabla \cdot \vec D\right) V=\vec \nabla \cdot \left( \vec DV \right)-
<math>\oint_L \vec ED \cdot \vec {dl}=0\nabla V\ </math>▼
quindi:
:<math> U= \int_T \frac{1}{2}\left[ \vec \nabla \cdot \left( \vec DV \right)-\vec D \cdot \vec \nabla V\right]\operatorname{d}\tau \ </math>
Usando la formula inversa dal potenziale elettrico al campo:
:<math> U= \frac 12 \int_T \vec \nabla \cdot \left( \vec D V \right)\operatorname{d}\tau+\frac{1}{2} \int_T \vec D \cdot
\vec E\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Estendendo l'integrale a tutto lo spazio, quindi una sfera di raggio infinito, il primo termine per il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] diventa il flusso del prodotto del campo elettrico che va al minimo con <math>1/R^2\ </math> e del potenziale <math>V\ </math> che almeno va come <math>1/R\ </math> (Entrambi decrescono più velocemente se la carica netta è nulla). Poiché l'integrale superficiale di una sfera va come <math>R^2\ </math> si ha che il primo termine si annulla, quindi rimane solo il secondo termine:
▲<math>\oint_L \vec E\cdot \vec {dl}=0</math>
:<math> U= \frac{1}{2}\int_{Spazio} \vec D\cdot \vec E\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Quindi <math> \frac{1}{2} \vec D\cdot \vec E\ </math> è l'energia per unità di volume del campo elettrostatico.
Quindi immaginiamo un cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infinitesimo, per garantire che sia verificata la equazione precedente occorre che la componente tangenziale del campo elettrico alla superficie di separazione sia eguale nei due mezzi, algebricamente:
 
<math>E_{t1}=E_{t2}\ </math>
 
Mentre invece, se non vi è carica libera nell'interfaccia tra i due mezzi, considerando una superficie gaussiana, cilindrica di altezza infinitesima con le facce parallele alla superficie di separazione dei due mezzi per metà in un dielettrico, il fatto che il flusso dello spostamento elettrico sia nullo attraverso tale superficie (che non contiene cariche libere), ha come conseguenza che:
 
<math>D_{n1}=D_{n2}\ </math>
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