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Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}
 
== Interfaccia tra due dielettrici ==
== Esercizi ==
Dall'ultima espressione locale, utilizzando il teorema della divergenza in maniera inversa rispetto a quanto fatto nel vuoto,
si ricava che:
 
<math>\int_{S\ chiusa}\vec D \cdot \vec {dS}=Q_{lib}\ </math>
[[Immagine:Sferacaricaconduefori.png|350px|left]]
 
Inoltre anche in presenza di materia continua a valere in condizioni elettrostatiche:
===24 Sfera con due fori===
 
<math>\oint_L \vec E\cdot \vec {dl}=0</math>
 
Quindi immaginiamo un cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infinitesimo, per garantire che sia verificata la equazione precedente occorre che la componente tangenziale del campo elettrico alla superficie di separazione sia eguale nei due mezzi, algebricamente:
Una sfera di densità di carica uniforme <math>\rho\ </math> e raggio <math>R\ </math> contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio <math>R/2\ </math> come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle <math>z\ </math> per <math>-R\le z \le R\ </math>; b) lungo l'asse delle <math>x\ </math> per <math>-R\le x \le R\ </math>; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla.
 
(dati del problema <math>\rhoE_{t1}=1\cdot 10^E_{-4t2}\ C/m^3\ </math>, <math>R=10\ cm\ </math>).
 
Mentre invece, se non vi è carica libera nell'interfaccia tra i due mezzi, considerando una superficie gaussiana, cilindrica di altezza infinitesima con le facce parallele alla superficie di separazione dei due mezzi per metà in un dielettrico, il fatto che il flusso dello spostamento elettrico sia nullo attraverso tale superficie (che non contiene cariche libere), ha come conseguenza che:
<span class="noprint">[[#24 Sfera con due fori_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
<math>D_{n1}=D_{n2}\ </math>
 
== Soluzioni ==
 
===24 Sfera con due fori===
<span class="noprint">[[#24 Sfera con due fori|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
 
[[Immagine:Campolungoz.png|550px|right]]
Una sfera omogenea di raggio <math>R\ </math> e densità di carica uniforme <math>\rho\ </math>, ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate <math>(0,0,z)\ </math>:
:<math>E_{z+}(0,0,z)=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}\ </math>
Sovrapponendo due sfere di raggio <math>R/2\ </math> e densità di carica uniforme <math>-\rho\ </math> centrate nei punti <math>x=-R/2\ </math> e <math>x=R/2\ </math> si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo.
 
La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è:
:<math>Q_2=-\rho \frac 43\pi(R/2)^3=-\frac {\pi}{6}R^3\rho\ </math>
i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni
per cui (per cui generano il campo di una carica <math>Q_2\ </math>) e la componente lungo l'asse delle <math>x\ </math> si elidono a vicenda quindi
il campo è pari a:
:<math>E_z(0,0,z)
=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}+\frac {2Q_2z}{4\pi \varepsilon_o[(R/2)^2+z^2]^{3/2} }\ </math>
:<math>E_z(0,0,z)
=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}\left(1-\frac {R^3}{4 [(R/2)^2+z^2]^{3/2} }\right)\ </math>
Funzione mostrata di lato.
 
b)
 
[[Immagine:Campolungox.png|450px|left]]
Lungo l'asse delle <math>x\ </math> avremo che la sfera positiva genera un campo
:<math>E_{x+}(x,0,0)=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}\qquad -R\le x \le R\ </math>
Per <math>0\le x\le R\ </math>, la zona a carica negativa di sinistra genera un campo:
:<math>E_{x-1}(x,0,0)=\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[(R/2)+x]^2 }\qquad 0\le x \le R\ </math>
Mentre la regione di destra genera un campo:
:<math>E_{x-2}(x,0,0)=-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }\qquad 0\le x \le R\ </math>
Quindi per <math>0\le x \le R\ </math> sommando i tre termini:
:<math>E_x=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[x+(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}-\frac {\rho R^3}{24 \varepsilon_o[x+(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[1-\frac {R^2}{4[x+(R/2)]^2 }\right]\ </math>
Mentre per <math>-R\le x \le 0\ </math>:
:<math>E_x=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x+R/2)}{3\varepsilon_o }-\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[x-(R/2)]^2 }=-\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}+\frac {\rho R^3}{24 \varepsilon_o[x-(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[\frac {R^2}{4[x-(R/2)]^2 }-1\right]\ </math>
Funzione mostrata nella figura qui sopra.
 
Le componenti <math>E_y\ </math> ed <math>E_z\ </math> sono identicamente nulle lungo tale asse.
 
c)
 
Nella regione a carica nulla di destra:
:<math>0\le x \le R,\quad -R/2\le y \le R/2; \quad -R/2\le z \le R/2\ </math>
il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti:
 
:<math>
E_x(x,y,z)=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2[x+(R/2)]}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[1-\frac {[x+(R/2)]R^2}{4\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }\right]
\ </math>
:<math>
E_y(x,y,z)=\frac {\rho y}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho y}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2y}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=-\frac {\rho R^3y}{24\varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }
\ </math>
:<math>
E_z(x,y,z)=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho z}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2y}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=-\frac {\rho R^3z}{24\varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }
\ </math>
Notiamo che le componenti <math>E_y\ </math> ed <math>E_z\ </math> sono nulle lungo l'asse delle <math>x\ </math> ma non le derivate parziali:
:<math>
\frac {\partial E_x}{\partial x}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3[x+(R/2)]^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{y^2+z^2-2[x+(R/2)]^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}
\ </math>
:<math>
\frac {\partial E_y}{\partial y}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3y^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{[x+(R/2)]^2+z^2-2y^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}
\ </math>
 
:<math>
\frac {\partial E_z}{\partial z}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3z^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{[x+(R/2)]^2+y^2-2z^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}
\ </math>
 
Sommando:
:<math>
\frac {\partial E_x}{\partial x}+\frac {\partial E_y}{\partial y}+\frac {\partial E_z}{\partial z}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{y^2+z^2-2[x+(R/2)]^2+[x+(R/2)]^2+z^2-2y^2+[x+(R/2)]^2+y^2-2z^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}=0
\ </math>
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