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Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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== Esercizi ==
 
[[Immagine:CilindrochiusodamollaSferacaricaconduefori.png|350px|rightleft]]▼
 
===24 Sfera con due fori===
 
===10 Cilindro chiuso===
▲[[Immagine:Cilindrochiusodamolla.png|350px|right]]
 
Una sfera di densità di carica uniforme <math>\rho\ </math> e raggio <math>R\ </math> contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio <math>R/2\ </math> come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle <math>z\ </math> per <math>-R\le z \le R\ </math>; b) lungo l'asse delle <math>x\ </math> per <math>-R\le x \le R\ </math>; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla.
Un cilindro chiuso contiene <math>n\ </math> moli di un gas biatomico a temperatura <math>T_0\ </math> e pressione <math>P_0\ </math> . La sezione del cilindro vale <math>S\ </math> ed inizialmente solo la forza peso del pistone lo tiene in equilibrio
(nel contenitore superiore vi è il vuoto), in quanto la molla di costante di richiamo elastico <math>k\ </math> è a riposo. Il gas viene scaldato ponendolo su una sorgente a temperatura <math>T_1\ </math> ed il pistone di alza di una quota <math>h\ </math> e allo stesso tempo la molla di contrae di <math>h\ </math> raggiungendo una nuova posizione di equilibrio.
 
(Datidati del problema <math>T_0\rho=201\cdot 10^oC{-4}\ <C/math> , <math>S=0.01\ m^23\ </math> , <math>P_0R=4\cdot 10^5\ Pacm\ </math> ,).▼
Determinare
a) la massa <math>M\ </math> del pistone;
b) la pressione <math>P_1\ </math>, il volume <math>V_1\ </math> e la temperatura <math>T_1\ </math> finale del gas;
c) il calore che il sistema assorbe dalla sorgente.
 
<span class="noprint">[[#1024 CilindroSfera chiuso_2con due fori_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>▼
▲(Dati del problema <math>T_0=20\ ^oC\ </math> , <math>S=0.01\ m^2\ </math> , <math>P_0=4\cdot 10^5\ Pa\ </math> ,
<math>n=0.8\ moli\ </math> , <math>h=20\ cm\ </math> , <math>k=5000\ N/m\ </math> )
 
 
▲<span class="noprint">[[#10 Cilindro chiuso_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
 
== Soluzioni ==
 
===1024 CilindroSfera chiusocon due fori===
<span class="noprint">[[#1024 CilindroSfera chiusocon due fori|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
 
a)
 
[[Immagine:Campolungoz.png|550px|right]]
La massa del pistone è tale che la sua pressione è pari alla pressione del gas:
Una sfera omogenea di raggio <math>R\ </math> e densità di carica uniforme <math>\rho\ </math>, ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate <math>(0,0,z)\ </math>:
:<math>E_{z+}(0,0,z)=\frac {Mg\rho z}{S3\varepsilon_o}=P_0\ </math>
quindi:
Sovrapponendo due sfere di raggio <math>R/2\ </math> e densità di carica uniforme <math>-\rho\ </math> centrate nei punti <math>x=-R/2\ </math> e <math>x=R/2\ </math> si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo.
:<math>M=\frac {P_0S}{g}=407\ kg\ </math>▼
 
La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è:
▲:<math>MQ_2=-\rho \frac 43\pi(R/2)^3=-\frac {P_0S\pi}{g6}=407R^3\ kgrho\ </math>
i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni
per cui (per cui generano il campo di una carica <math>Q_2\ </math>) e la componente lungo l'asse delle <math>x\ </math> si elidono a vicenda quindi
il campo è pari a:
:<math>E_z(0,0,z)
=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}+\frac {2Q_2z}{4\pi \varepsilon_o[(R/2)^2+z^2]^{3/2} }\ </math>
:<math>E_z(0,0,z)
=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}\left(1-\frac {R^3}{4 [(R/2)^2+z^2]^{3/2} }\right)\ </math>
Funzione mostrata di lato.
 
b)
 
[[Immagine:Campolungox.png|450px|left]]
La pressione finale sarà pari a :
Lungo l'asse delle <math>x\ </math> avremo che la sfera positiva genera un campo
:<math>P_1=P_0+\frac {kh}S=5\cdot 10^5\ Pa\ </math>
:<math>E_{x+}(x,0,0)=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}\qquad -R\le x \le R\ </math>
Mentre il volume iniziale era:
Per <math>0\le x\le R\ </math>, la zona a carica negativa di sinistra genera un campo:
:<math>V_0=\frac {nRT_0}{P_0}=0.0049\ m^3\ </math>
:<math>E_{x-1}(x,0,0)=\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[(R/2)+x]^2 }\qquad 0\le x \le R\ </math>
Diviene:
Mentre la regione di destra genera un campo:
:<math>V_1=V_0+Sh=0.0069\ m^3\ </math>
:<math>E_{x-2}(x,0,0)=-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }\qquad 0\le x \le R\ </math>
Quindi la temperatura è:
:Quindi per <math>T_1=0\fracle x {P_1V_1}{nR}=517\le KR\ </math> sommando i tre termini:
:<math>E_x=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[x+(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}-\frac {\rho R^3}{24 \varepsilon_o[x+(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[1-\frac {R^2}{4[x+(R/2)]^2 }\right]\ </math>
Mentre per <math>-R\le x \le 0\ </math>:
:<math>E_x=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x+R/2)}{3\varepsilon_o }-\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[x-(R/2)]^2 }=-\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}+\frac {\rho R^3}{24 \varepsilon_o[x-(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[\frac {R^2}{4[x-(R/2)]^2 }-1\right]\ </math>
Funzione mostrata nella figura qui sopra.
 
Le componenti <math>E_y\ </math> ed <math>E_z\ </math> sono identicamente nulle lungo tale asse.
 
c)
 
Nella regione a carica nulla di destra:
Detto <math>c_v=\frac 52R=20.8\ J/(mol K)\ </math>.
:<math>0\le x \le R,\quad -R/2\le y \le R/2; \quad -R/2\le z \le R/2\ </math>
La variazione di energia interna del gas vale:
il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti:
:<math>\Delta U=nc_v(T_1-T_0)=3.72\ kJ\ </math>
 
mentre il lavoro fatto contro la forza peso è:
:<math>L_p=Mgh=800\ J\ </math>
E_x(x,y,z)=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2[x+(R/2)]}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[1-\frac {[x+(R/2)]R^2}{4\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }\right]
Mentre il lavoro fatto contro la forza elastica vale:
:<math>L_e=\frac 12 kh^2=100\ J\ </math>
:<math>
In totale quindi:
E_y(x,y,z)=\frac {\rho y}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho y}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2y}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=-\frac {\rho R^3y}{24\varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }
:<math>Q=\Delta U+L_p+L_e=4.62\ kJ\ </math>
\ </math>
:<math>
E_z(x,y,z)=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho z}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2y}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=-\frac {\rho R^3z}{24\varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }
\ </math>
Notiamo che le componenti <math>E_y\ </math> ed <math>E_z\ </math> sono nulle lungo l'asse delle <math>x\ </math> ma non le derivate parziali:
:<math>
\frac {\partial E_x}{\partial x}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3[x+(R/2)]^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{y^2+z^2-2[x+(R/2)]^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}
\ </math>
:<math>
\frac {\partial E_y}{\partial y}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3y^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{[x+(R/2)]^2+z^2-2y^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}
\ </math>
 
:<math>
\frac {\partial E_z}{\partial z}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3z^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{[x+(R/2)]^2+y^2-2z^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}
\ </math>
 
Sommando:
:<math>
\frac {\partial E_x}{\partial x}+\frac {\partial E_y}{\partial y}+\frac {\partial E_z}{\partial z}
=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{y^2+z^2-2[x+(R/2)]^2+[x+(R/2)]^2+z^2-2y^2+[x+(R/2)]^2+y^2-2z^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}=0
\ </math>
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