Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Dinamica dei corpi rigidi"

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(aggiuntio esercizio 21)
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== Esercizi ==
 
=== 1. Due sfere unite ===
[[Immagine:Sfere ruotanti.png|150px|right]]
Determinare il momento di inerzia di due sfere piene di massa <math>M\ </math> e raggio <math>R\ </math>, unite sulla superficie esterna, attorno ad un asse normale al congiungente i loro centri e passante per il punto di contatto.
<span class="noprint">[[#1. Due sfere unite_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 2. Pendolo fisico ===
Un pendolo fisico è costituito da un'asta sottile rigida ed omogenea di lunghezza <math>L\ </math> e massa <math>m\ </math> che ruota intorno al suo estremo <math>O\ </math>. Sull'asta è collocata ad una distanza <math>a\ </math> dall'estremo <math>O\ </math> un corpo puntiforme di massa <math>M=5m\ </math>.
Si determini: a) il periodo delle piccole oscillazioni se <math>M\ </math> si trova in <math>a=L/2\ </math>; b) il periodo delle piccole oscillazioni se la massa <math>M\ </math> viene spostata da un estremo all'altro.
<span class="noprint">[[#2. Pendolo fisico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 3. Freno su disco ===
Un disco omogeneo di massa <math>M\ </math> e raggio <math>R\ </math> ruota liberamente attorno al proprio asse con velocità angolare <math>\omega_o\ </math>. Sul disco viene azionato per un tempo <math>T\ </math> un freno elettromagnetico che genera una coppia frenante di momento meccanico <math>|M_f|=-b\omega\ </math>, dove <math>\omega\ </math> è la velocità angolare istantanea.
Determinare: a) la velocità angolare del disco dopo l'azione del freno; b) l'energia dissipata dal freno
<span class="noprint">[[#3. Freno su disco_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 4. Anello in discesa ===
Un anello viene lasciato, con velocità iniziale nulla, sulla cima di un piano inclinato scabro
con un angolo <math>\alpha\ </math> rispetto alla direzione orizzontale. Determinare: a) se il moto dell'anello possa essere di puro rotolamento; b) la velocità dell'anello dopo che il suo centro
si è spostato di <math>s\ </math>
<span class="noprint">[[#4. Anello_in_discesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 5. Carrucola con due masse ===
Ad una carrucola di raggio <math>r\ </math> e momento di inerzia <math>I\ </math> rispetto al piano verticale in cui giace la carrucola e passante per il suo centro sono sospese tramite un filo
inestensibile due masse <math>m_1\ </math> ed <math>m_2\ </math>.
 
===6. Disco in discesa===
Un disco di raggio <math>r\ </math> e massa <math>m\ </math> scende srotolando un filo, che non slitta rispetto al bordo del disco. Quando arriva nel punto più basso, si è srotolato tutto il filo
ed è diminuita la quota del centro del disco di <math>h_0\ </math>.
Determinare: a) la massima velocità angolare; b) la tensione del filo nel punto più basso; c) la tensione del filo durante la discesa (o salita a ritroso).
 
(Dati del problema <math>m=0.3\ kg\ </math>, <math>r=10\ cm\ </math>, <math>h_0=1\ m\ </math> ipotizzare che il filo nel punto più basso rimane in tiro.)
<span class="noprint">[[#6. Disco in discesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 7. Sfera in discesa ===
Una sfera di massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math> viene lasciata con velocità iniziale nulla su un piano inclinato con un angolo <math>\alpha\ </math> rispetto alla direzione orizzontale.
 
Determinare: a) se il moto sia di puro rotolamento; b) la velocità del centro della sfera dopo un giro.
 
(Dati del problema <math>m=1\ kg\ </math>, <math>r=10\ cm\ </math>, <math>\alpha=30^o\ </math>,
<span class="noprint">[[#7. Sfera in discesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 8. Boccia ===
 
Una boccia (una sfera omogenea) di massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math>, viene lanciata tangenzialmente ad un piano orizzontale. Quando entra in contatto con il piano ha una velocità <math>v_o\ </math>, ma senza alcuna rotazione. A causa dell'attrito (<math>\mu_d\ </math> coefficiente d'attrito dinamico), dopo un certo tempo <math>t_x\ </math> essa inizia un moto di puro rotolamento.
<span class="noprint">[[#8. Boccia_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 9. Disco pieno ===
 
Ad un disco pieno massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math>, che ha un coefficiente di attrito statico <math>\mu_s\ </math> con il piano orizzontale su cui è poggiato, è applicata una coppia di momento <math>M\ </math>.
 
E' il moto di puro rotolamento? Quale è la accelerazione del centro di massa?
 
(dati <math>m=5\ kg\ </math>, <math>r=0.2\ m\ </math>, <math>\mu_s=0.3\ </math>, <math>M=4\ Nm\ </math>)
<span class="noprint">[[#9. Disco pieno_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 10. Biliardo ===
 
Una sfera omogenea di massa <math>m\ </math> e raggio <math>r\ </math>, è posta su un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito dinamico <math>\mu_d\ </math>; inizialmente la sfera è in quiete. Viene applicato un impulso parallelo al piano orizzontale <math>|J|\ </math>, appartenente al piano verticale che passa per il centro della sfera e la cui retta d'azione passa ad un 'altezza
<math>1.2r\ </math> dal piano orizzontale. E' praticamente una palla da biliardo colpita dalla stecca sopra al centro.
 
<span class="noprint">[[#10. Biliardo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 11. Attrito volvente ===
Una sfera di raggio raggio <math>r\ </math> ha un coefficiente di attrito volvente <math>h\ </math>. Quale è la pendenza minima del piano inclinato, su cui è poggiata, per potere rotolare spontaneamente?
 
<span class="noprint">[[#11. Attrito volvente_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 12. Ruota ===
[[Immagine:Es7p55.png|350px|right]]
 
Una ruota è composta da due dischi metallici sottili concentrici omogenei di raggio <math>R_1=5\ cm\ </math> ed <math>R_2=30\ cm\ </math>. La ruota è in posizione verticale su di un piano orizzontale. Sul disco di raggio inferiore è arrotolato un filo inestensibile e di massa trascurabile a cui si applica una forza <math>F=10\ N\ </math> costante e parallela al piano orizzontale.
 
Si misura che il filo si srotola completamente una volta che la ruota ha compiuto <math>n=10\ </math> giri completi dalla posizione iniziale nella quale la sua velocità era nulla. Sapendo che il disco di raggio minore <math>R_1\ </math> ha massa <math>M_1=0.1\ kg\ </math>, che quello di raggio maggiore <math>R_2\ </math> ha massa <math>M_2=5\ kg\ </math>.
 
Si determini nell’ipotesi di moto di puro rotolamento:
<span class="noprint">[[#12. Ruota_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 13. Puleggia ===
[[Immagine:Es7p9.png|350px|right]]
 
===14. Ruota motrice===
 
Una coppia motrice <math>M=1.6\ Nm\ </math> viene applicata sul mozzo di una ruota approssimabile come un disco pieno. La ruota ha massa <math>m=3\ kg\ </math> e raggio <math>r=20\ cm\ </math> e giace su un piano orizzontale. Il punto di contatto ha un coefficiente di attrito statico <math>\mu_s=0.3\ </math>. Determinare: a) la forza di attrito tra ruota e piano ; b) la distanza percorsa a partire da fermo in un tempo <math>t_1=15\ s\ </math>; c) la massima coppia motrice applicabile <math>M_{max}\ </math>.
 
<span class="noprint">[[#14. Ruota motrice_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
Un argano è schematizzabile come una ruota con due gole che ruota senza attrito sul suo asse.
Un carico di massa <math>m_c=100\ kg\ </math> è collegato, tramite una fune inestensibile, al raggio interno <math>R_1=40\ cm\ </math> dell'argano di momento di inerzia <math>I=10\ kgm^2\ </math>. Sulla gola esterna, di raggio <math>R_2=80\ cm\ </math> dell'argano agisce attraverso un'altra fune una forza <math>F=500\ N\ </math> (orizzontale). Supponendo di poter trascurare la massa dei due cavi e che gli stessi abbiano moto senza strisciamento lungo le gole, calcolare:
a) la accelerazione; b) la tensione che agisce sulla fune verticale; c) la potenza media sviluppata dalla forza se il carico viene sollevato di <math>h=3\ m\ </math>.
 
===16. Cilindro pieno===
 
Un cilindro pieno ed omogeneo di raggio <math>R=15\ cm\ </math> e massa <math>M=2\ kg\ </math> viene posto in rotazione intorno al proprio asse orizzontale, con velocità angolare <math>\omega_o=40\ rad/s\ </math>. In seguito il cilindro viene appoggiato su una superficie orizzontale con coefficiente di attrito dinamico <math>\mu_d=0.25\ </math>. Nella prima fase il cilindro striscia sul piano, trascorso un tempo <math>t'\ </math> comincia il moto di puro rotolamento.
Determinare:
 
Un tubo di raggio interno <math>r_1=10\ cm\ </math> ed esterno <math>r_2=20\ cm\ </math>, lungo <math>\ell =5\ cm\ </math> e densità uniforme <math>\rho=2.7\ g/cm^3\ </math>, viene lasciato rotolare da fermo lungo
una discesa (un piano inclinato con angolo <math>\theta =20^o\ </math> rispetto al piano orizzontale) da una altezza <math>h=3\ m\ </math>.
Il tubo rotola con moto di puro rotolamento.
 
Determinare : a) la massa del tubo ; b) il momento di inerzia del tubo; c) la accelerazione nel moto in discesa; d) la accelerazione durante il moto in discesa se viene applicato anche un momento frenante di <math>M_f=5\ Nm\ </math>; e) il coefficiente di attrito minimo che permette il moto di rotolamento con il momento frenante.
<math>|\tau |\ </math> su ciascuna delle due ruote motrici.
Le ruote hanno un raggio <math>R\ </math> ed un momento di inerzia <math>I_r\ </math>. Determinare la forza di attrito
che agisce sulle due ruote motrici (la strada è piana) in fase di accelerazione della automobile. Immaginare che la forza peso si scarichi in maniera eguale sulle ruote. Il coefficiente di attrito statico tra ruote e strada vale <math>\mu_s=0.9\ </math>.
la condizione sull'attrito statico tra le ruote e il suolo. A causa della forza di attrito viscoso <math>F_v=-bv^2\ </math> la macchina raggiunge
una velocità di regime <math>v_0\ </math> , determinare la coppia sulle ruote motrici e la potenza del motore.
I due dischi hanno stessa massa <math>m\ </math> e raggio <math>R\ </math> tale che il periodo delle piccole oscillazioni del sistema attorno
al punto <math>O\ </math> vale <math>T\ </math>.
Determinare a) il raggio dei dischi; b) il momento di inerzia totale del sistema dei due dischi rispetto ad <math>O\ </math>; c) la velocità massima dell’estremo inferiore se il sistema viene lasciato cadere con velocità iniziale nulla dalla posizione orizzontale (cioè con il punto di contatto tra i due dischi allineato orizzontalmente con il punto <math>O\ </math>).
 
(dati del problema <math>m=700\ g\ </math>, <math>T=1.3\ s\ </math>)
== Soluzioni ==
 
=== 1. Due sfere unite ===
<span class="noprint">[[#1. Due sfere unite|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
:<math>I=\frac {14}5MR^2\ </math>
 
=== 2. Pendolo fisico ===
 
===2. Pendolo fisico ===
<span class="noprint">[[#2. Pendolo fisico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
<math>T_2=2\pi \sqrt{\frac {l_{r3}}{g}}=1.64\ s\ </math>
 
=== 3. Freno su disco ===
<span class="noprint">[[#3. Freno su disco|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
<math>\Delta E_r=\frac 12 I\omega_o^2\left(1-e^{-2Tb/I} \right)=9.5\ J</math>
 
=== 4. Anello in discesa ===
<span class="noprint">[[#4. Anello_in_discesa|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
:<math>v=\sqrt {2sa_{CM}}=5.1\ m/s\ </math>
 
=== 5. Carrucola con due masse ===
<span class="noprint">[[#5. Carrucola con due masse|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
<span class="noprint">[[#11. Attrito volvente|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Perchè non si muova occorre che il momento della forza peso rispetto al punto di contatto:
:<math>mg\sin \alpha r\ </math>
sia minore del momento dell'attrito volvente:
:<math>hmg\cos \alpha\ </math>
Quindi:
:<math>\tan \alpha \approx \alpha <\frac hr=2.5\cdot 10^{-4} rad \approx 50''\ </math>
 
=== 12. Ruota ===
<span class="noprint">[[#12. Ruota|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
:<math>M_f=-R_2 \left(I_{tot}/R_2^2+M_1 + M_2\right)\frac {\omega_1 R_2}{\Delta t}=-0.58\ Nm\ </math>
 
=== 13. Puleggia ===
 
===13. Puleggia ===
<span class="noprint">[[#13. Puleggia|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Inoltre
:<math>\alpha=\frac {a_M}{R_2}=\frac {T_m}{m_1r_1}\ </math>
Le due rimanenti equazioni diventano:
:<math>M_2g-T_M=\frac {M_2T_mR_2}{r_1m_1}\ </math>
:<math>T_MR_2-T_mr_1=\frac {IT_m}{r_1m_1}\ </math>
Mentre se il momento è applicato in senso orario, la seconda equazione cardinale è:
:<math>-M+fr=I\frac {d\omega }{dt}\ </math>
Ipotizzando che valga la condizione di puro rotolamento e sostituendo la prima equazione cardinale:
:<math>\frac {d\omega}{dt}=-\frac ar=-\frac f{mr}\ </math>
Inoltre <math>I=1/2mr^2\ </math> quindi la II diventa:
Essendo <math>\alpha R_1=a\ </math>, dalla prima:
:<math>F\frac {R_2}{R_1}-T=\frac I{R_1^2} a\ </math>
Quindi sommandola all'altra equazione:
:<math>F\frac {R_2}{R_1}-m_cg=(m_c+\frac I{R_1^2})a\ </math>
:<math>a=\frac {FR_2/R_1-m_cg}{m_c+I/R_1^2}=0.123\ m/s^2\ </math>
:<math>P_m=\frac {W}{t_s}=430\ W\ </math>
 
=== 16. Cilindro pieno ===
<span class="noprint">[[#16. Cilindro pieno|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
:<math>\mu_s\ge \frac {g\sin {\theta}-a}{g\cos{\theta}}=0.27\ </math>
 
=== 18. Un disco su un piano inclinato ===
<span class="noprint">[[#18. Un disco su un piano inclinato|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
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