Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni

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Tutta la trattazione finora eseguita escludeva la presenza di materia. L'aria con buona approssimazione è equiparabile al vuoto per quanto riguarda l'elettrostatica, quindi la trattazione fatta finora si applica bene a un mezzo a cui siamo abituati. La materia modifica sostanzialmente il comportamento dei campi elettrici, esiste una quantità che definiremo nel seguito detta [[w:Resistivit%C3%A0_elettrica|resistività elettrica]] che varia di oltre 20 ordini di grandezza andando da un conduttore ideale (i metalli in generale) ad un isolante ideale (che chiameremo anche dielettrico). Qui limitiamo la nostra trattazione ad un conduttore ideale. Ovviamente, come spesso avviene in natura, la distinzione tra i conduttori e gli isolanti non è così netta: un caso tipico è l'acqua che nella forma naturale è un discreto conduttore, ma una volta privata dei sali in essa disciolti e quindi deionizzata rappresenta un buon isolante. Ma sicuramente i metalli, le leghe sono tutti dei conduttori per cui valgono le leggi che stiamo per descrivere.
 
Si definisce conduttore un corpo entro il quale siano presenti delle cariche elettriche libere di muoversi (al suo interno e sulla sua superficie). Come sappiamo tutti i corpi sono costituiti da particelle cariche (i nuclei degli atomi e gli elettroni di carica eguale ed opposta), tuttavia la gran parte di queste particelle non è libera di muoversi su distanze macroscopiche, ma occupa posizioni fisse all'interno degli atomi o nelle molecole che essi costituiscono. Nei metalli sappiamo dalle conoscenze microscopiche che gli elettroni più esterni degli atomi, quelli che determinano la [[w:Valenza_(chimica)|valenza]] dei vari elementi, sono liberi di muoversi. Questo comporta che vi è un numero grandissimo di elettroni liberi, vincolati solo dalla superficie esterna del conduttore. Supponiamo di introdurre un conduttore in una regione di spazio nel quale è presente un campo elettrico. In tal caso, ognuna delle cariche libere del conduttore ''sentirà'' il campo elettrico e di conseguenza tenderà a spostarsi sulla superficie del conduttore stesso fino a determinare una condizione di equilibrio.
 
Nella situazione di equilibrio in un conduttore, le cariche si dispongono sulla superficie, sia quando il conduttore possiede una carica totale netta, che quando, pur non essendo carico, è posto in una regione di spazio dove vi sono campi elettrici esterni. Tale fenomeno prende il nome di ''induzione elettrostatica'' e le cariche che si trovano sulla superficie del conduttore vengono definite ''cariche indotte''. Naturalmente, all'interno del conduttore si avrà una condizione di equilibrio quando le cariche superficiali generano all'interno del conduttore un campo elettrico indotto, che sommato a quello inducente dà risultante nulla.
 
=== Campo elettrico all'interno e sulla superficie di un conduttore ===
Il campo elettrico all'interno di un conduttore è quindi sempre nullo in tutte le condizioni elettrostatiche, cioè quando le cariche, comunque presenti, sono in una posizioni fissa nello spazio. Se non fosse nullo il campo elettrico, allora all'interno del conduttore gli elettroni liberi sarebbero soggetti alla forza elettrica e quindi si muoverebbero sotto la sua azione. Chiaramente questo è in contraddizione con l'ipotesi di staticità.
 
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[[Immagine:Electrostatic induction.svg|thumb|upright=1.5|Cariche superficiali indotte su oggetti metallici da parte di una carica vicina. Il campo elettrostatico ''(linee con frecce)''
di una carica positiva ''<font color="red">(+)</font>'' provoca la separazione delle cariche mobili
nel metallo. Le cariche negative ''<font color="blue">(blu)</font>'' sono attratte e si posizionano nella superfice affacciata alla carica esterna. La carica totale essendo nulla, nelle parti lontane rimangono zone con eccesso di cariche positive ''<font color="red">(rosse)</font>''. Le cariche indotte superficialmente cancellano esattamente il campo prodotto dalla carica esterna all'interno dei metalli. L'induzione elettrostatica garantisce che all'interno dei metalli in ogni punto il campo sia nullo.]]
 
A causa del fatto che in un conduttore, in condizioni elettrostatiche, il campo elettrico nel suo interno sia nullo e che esistono cariche elettriche positive e negative, si ha questo fenomeno che consiste nella ridistribuzione sulla superficie di un conduttore delle cariche (positive e negative) per annullare il campo nel suo interno. Quindi, in particolare, se pongo un oggetto carico nelle vicinanze di un conduttore, sulla superficie affacciata del conduttore al corpo carico si posizioneranno delle cariche di segno opposto in maniera da neutralizzare il campo all'interno del conduttore.
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=== Effetto punta ===
[[Immagine:Lightning striking the Eiffel Tower - NOAA.jpg|thumb|right|250px| La Torre Eiffel durante un temporale: Fotografia presa la sera del 3 giugno 1902.]]
L'effetto è un fenomeno che si osserva nei conduttori carichi e consiste nella formazione di un campo elettrico più intenso in prossimità delle zone in cui la superficie del conduttore presenta un [[w:raggio di curvatura|raggio di curvatura]] minore. Quindi le punte sono sede di campi elettrici elevati. A causa di tale effetto i fulmini colpiscono in maniera preferenziale le zone appuntite come gli alberi, le punte aguzze delle montagne e le guglie.
 
Per comprendere analiticamente tale effetto consideriamo due sfere conduttrici di raggio <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math>; immaginiamo che il raggio della prima sia minore della seconda: <math>R_1<R_2\ </math>. Se le due sfere sono connesse elettricamente, esse costituiscono un unico conduttore, per semplificare la trattazione immaginiamo che siano abbastanza distanti da potere trascurare i fenomeni di induzione (in realtà tale ipotesi non è necessaria, ma è solo utile per semplificare il ragionamento). Se poniamo una carica <math>Q\ </math> su tale sistema tale carica si distribuirà e vi sarà una carica <math>Q_1\ </math> sulla prima sfera e <math>Q_2\ </math> sulla seconda con:
 
<math>Q_1+Q_2=Q\ </math>
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Cioè la densità di carica è inversamente proporzionale al raggio. Cioè la sfera con raggio minore ha una densità di carica maggiore. Ma la densità di carica per il teorema di Coulomb è proporzionale al campo elettrico e quindi più piccolo è il raggio di curvatura maggiore sarà il campo elettrico sulla sua superfice.
 
 
=== Il campo all'interno di un conduttore cavo ===
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necessariamente tale integrale sarebbe non nullo. Infatti stiamo muovendoci da una zona con una carica A ad una zona B carica di segno opposto (sappiamo che le linee del campo partono dalle cariche positive e vanno a finire su quelle negative). Si avrebbe quindi la contraddizione che l'integrale attraverso una linea chiusa del campo elettrostatico sarebbe diverso da zero. Ma questo contrasta con la conservatività del campo elettrostatico. Quindi l'ipotesi che si possano generare cariche eguali e di segno opposto sulla superficie interna porta ad una conseguenza assurda che si può escludere.
 
Bisogna puntualizzare che l'ipotesi iniziale è che nell'interno della cavità non in contatto con la superficie metallica non siano presenti cariche. Infatti se delle cariche sono piazzate in qualche posizione fissa all'interno della cavità, o sopra un isolante o un conduttore isolato dal conduttore principale, in tal caso ci può essere un campo elettrico all'interno della cavità. Notiamo che in questo caso sulla superficie interna del conduttore si accumulerà una carica eguale a quella all'interno della cavità: in maniera da annullare il campo all'interno del conduttore cavo e per la conservazione della carica una carica eguale a quella all'interno della cavità apparirà sulla superficie esterna. Ma anche in questo caso le cariche esterne od i campi esterni non riescono in nessuna maniera ad influenzare le cariche all'interno della cavità.
 
Notiamo che ben prima di dimostrare la cosa con un ragionamento logico, [[w:Michael_Faraday|M. Faraday]] aveva condotto degli esperimenti su conduttori cavi e aveva trovato tale effetto. Il fatto che un contenitore metallico è in grado di isolare l'ambiente interno da un qualunque campo elettrostatico presente al suo esterno, viene utilizzato nelle cosidette [[w:Gabbia_di_Faraday|gabbie di Faraday]].
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<math>C=\frac QV=\varepsilon_o\frac Sd\ </math>
 
=== Unità di misura della costante dielettrica del vuoto ===
Dalla relazione precedente per un condensatore a facce piane e parallele possiamo scrivere che
<math>\varepsilon_o=\frac {C\ d}{S}\ </math>
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===Condensatore cilindrico===
[[Immagine:Cylindrical Capacitor.svg|250px|right|thumb|Un condensatore cilindrico]]
Immaginiamo di avere un conduttore cilindrico di raggio <math>R_1\ </math> e con lo stesso un secondo conduttore cilindrico di raggio interno <math>R_2\ </math>. Se la distanza tra le armature è piccola si ha un campo radiale che non dipende dalla distanza dagli estremi, chiamata <math>l\ </math>
la lunghezza del condensatore, il campo elettrico è radiale e vale:
:<math>\vec E=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o r^2}\vec r\qquad R_1<r<R_2\ </math>
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Da cui si ricava:
:<math>C=\frac Q{\Delta V}=2\pi \varepsilon_ol /\ln \frac{R_2}{R_1}\ </math>
Nel caso dei condensatori cilindrici è utile definire la capacità per unità di lunghezza <math>C_l\ </math> come:
:<math>C_l=2\pi \varepsilon_o \frac 1{\ln \frac{R_2}{R_1}}\ </math>
Anche nei condensatori cilindrici, che sono in pratica i condensatori più comuni, se la distanza tra le armature <math>d\ </math> è molto minore del raggio interno <math>R_1\ </math> si ha una formula simile al condensatore a facce piane e parallele. Infatti riscrivendo la formula precedente come:
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Ma <math>2\pi R_1 l=S\ </math> è la superficie interna del cilindro. Quindi anche in questo caso:
:<math>C\approx \varepsilon_o\frac Sd\ </math>
 
 
===Altri esempi===
Alcuni esempi chiariscono quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#4. Tre_gusci_sferici|'''caso di tre gusci sferici concentrici''']],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#11. Una goccia d'acqua|'''una goccia d'acqua: un liquido conduttore''' ]].
 
===Condensatori in parallelo===
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<math>C=\varepsilon_o\frac Sd\ </math>
 
Sostituendo le eq. 7 e 8 nella eq.5:
 
<math>W=\frac 12\frac {E^2S^2\varepsilon_o^2}{\varepsilon_o S}d
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fittizie che producono lo stesso potenziale nel contorno si possono determinare grandezze di interesse.
 
=== Una carica di fronte ad un piano conduttore a massa ===
[[File:methodofimages1.png|thumb||300px|Sistema reale]]
[[File:methodofimages32.png|thumb|300px|Sistema e la sua immagine]]
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Poichè il campo elettrico nel vuoto soddisfa il principio [[Fisica_classica/Carica_elettrica#Sovrapposizione_delle_forze_elettriche|di sovrapposizione delle forze]], per un piano conduttore sotto un insieme di cariche puntiformi può ripetersi il ragionamento per ogni carica individualmente.
 
=== Una carica di fronte ad una sfera conduttrice a massa ===
[[File:Carica e sfera conduttrice.png|thumb|400px|Una carica di fronte a una sfera conduttrice]]
Studiamo il problema di una carica puntiforme ''q'' a distanza ''a'' dal centro di una sfera conduttrice di raggio ''R'' posta a massa.
La carica indurrà sulla superficie del conduttore una carica indotta tale da annullare il potenziale nel volume della sfera, e quindi anche sulla sua superficie.
[[File:Carica immagine di sfera conduttrice a massa.png|thumb|400px|Distribuzione di carica che genera un campo equivalente a quello di una carica d fronte a una sfera conduttrice a massa]]
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:<math>F=\frac {qq'}{4 \pi \varepsilon_0(a-b)^2}=\frac {q^2R}{4 \pi \varepsilon_0a^3(1-R^2/a^2)^2}</math>
 
=== Una carica di fronte ad una sfera conduttrice isolata ===
 
Se la sfera conduttrice è isolata, chiaramente la carica totale immagine deve essere nulla in quanto per il teorema di Gauss il flusso del campo elettrico sulla sfera gaussiana costituita della superficie della sfera conduttrice deve essere nulla quindi per creare il sistema immagine assiema alla carica '''q'''' ci deve essere all'interno della sfera '''R''' una carica '''q''''. Che però deve produrre un potenziale elettrico (rispetto all'infinito) equale in tutti i punti della superficie quindi la carica '''q'''' è posta al centro. Quiindi il sistema immagine è composto di tre cariche puntiformi poste come indicato in figura.