Matematica per le superiori/Integrali: differenze tra le versioni

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:<math>D \left( \int f(x) dx \right) = f(x)</math>.
 
La presenza del termine additivo C, che può assumere un qualunque valore reale, indica che le primitive di una funzione sono infinite. Questo è giustificato dalla considerazione che, nella derivazione, il termine additivo, in quanto costante, viene eliminato. Perciò:
:<math> D \left( F(x) + C \right) = D \left( F(x) \right) = f(x) </math>.
Di conseguenza, la funzione f(x) contenuta nell'integrale, può rappresentare la derivata di una qualsiasi delle funzioni:
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Nel caso di un integrale del tipo: <math> \int \frac{N(x)}{D(x)} dx</math>, non risolvibile con una delle formule di cui sopra, e detto <math>m</math> il grado di <math>N(x)</math> e <math>n</math> il grado di <math>D(x)</math>, se <math>m \geq n</math>, applicando la legge fondamentale della divisione, per la quale:
:<math> N(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x) \Rightarrow \frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}</math>
si riduce la frazione alla somma di un polinomio e di un' altra frazione in cui il grado del numeratore sia inferiore a quello del denominatore attraverso una [[w:Divisione_dei_polinomi|divisione di polinomi]].
Qualsiasi caso, perciò, si riconduce al caso in cui <math>m < n</math>. A questo punto, si distinguono tre casi, a seconda del determinante (<math>\Delta</math>) del polinomio al denominatore (qui considerato al massimo di secondo grado).
 
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=== Integrazione per sostituzione ===
Nel calcolo di integrali può risultare utile, in alcuni casi addirittura indispensabile, sostituire la variabile iniziale (solitamente <math>x</math>), con un' altra variabile, che rappresenti una funzione della variabile iniziale. Detto in altri termini, potremmo decidere di indicare con una qualsiasi variabile (ad esempio <math>t</math>) un funzione <math>f(x)</math> della variabile iniziale.
 
Poiché, però, come detto, il termine <math>dx</math> indica la derivata di <math>x</math>, se questa variabile viene sostituita da un' altra che ne rappresenta una funzione, allora anche il termine <math>dx</math> deve essere sostituito dalla derivata di <math>t</math>. Perciò:
: <math>f(x) = t</math>
: <math>\Rightarrow dx = f'(x) \cdot dt</math>