Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Derivate"

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===Derivata di una funzione di funzione===
 
Innanzitutto, con 'funzione di funzione' si intende una funzione del tipo: <math>y = f(g(x))</math>, cioè qualcosa ottenuto da un' operazione del tipo: <math>x \to g(x) = z \to f(z) = y</math>.
 
La derivata di una tale funzione può essere ricavata nel modo seguente:
Poiché: <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math>
:<math>\Rightarrow y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (- \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
 
 
==Differenziale di una funzione==
==Teoremi sulle funzioni derivabili==
===Teorema di Rolle===
Questo teorema afferma che: considerata una funzione <math>y = f(x)</math> definita e continua in un intervallo chiuso e limitato <math>[a; b]</math> e derivabile nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo <math>(a; b)</math>, e tale per cui <math>f(a) = f(b)</math>, allora: <math>\exist c \in (a; b) : f'(c) = 0</math>.
 
Fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria.
Per ipotesi, la funzione agli estremi ha lo stesso valore, cioè: <math>f(a) = f(b)</math>, quindi <math>f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow M = m</math>.
 
L' unica funzione per cui il valore massimo che essa assume è uguale a quello minimo, è la funzione costante, cioè <math>y = cost</math>. Ma se la funzione è costante, allora le derivata in ogni suo punto vale 0, contro l' ipotesi iniziale. Deve quindi essere falso l' assurdo iniziale, e perciò vera la tesi. c.v.d.
 
===Teorema di Lagrange===
Il teorema afferma che: considerata una funzione <math>y = f(x)</math> definita e continua in un intervallo chiuso e limitato <math>[a; b]</math> e derivabile nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo <math>(a; b)</math>, allora: <math>\exist c \in (a; b) : f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>.
 
Questo teorema mette in relazione il tasso di variazione medio di <math>f(x)</math> nell' intervallo <math>[a; b]</math>, cioè <math>\frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>, con il suo tasso di variazione istantaneo, cioè <math>f'(c)</math>.
Detto anche teorema degli accrescimenti finiti.
 
Il teorema afferma che: considerate due funzioni <math>y = f(x)</math> e <math>y = g(x)</math> definite e continue in un intervallo chiuso e limitato <math>[a; b]</math> e derivabili nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo <math>(a; b)</math> e tali che <math>\forall x \in (a; b) \Rightarrow g(x)\ne 0</math> e <math>g'(x) \ne 0</math> allora: <math>\exist c \in (a; b) : \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}</math>.
 
Mette in relazione gli incrementi medi delle due funzioni nel' intervallo con i loro incrementi istantanei in un punto.
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