Fisica classica/Moti relativi: differenze tra le versioni

 

Nei sistemi di riferimento non inerziali le leggi della dinamica sono modificate e si manifestano delle forze che vengono chiamate '''fittizie''' o '''apparenti'''.

 

 

Una forza apparente compare su un oggetto quando il sistema di riferimento usato per descrivere il movimento dell'oggetto stesso viene accelerato rispetto a un sistema di riferimento inerziale. Le accelerazioni possono avvenire in maniera molto diversa, ma per spiegare i fenomeni si enucleano 4 forze apparenti: 1) quella causata da accelerazioni in linea retta; 2) quella riguardante un sistema in rotazione ([[w:Forza_centrifuga|forza centrifuga]]); 3) moto in un sistema in rotazione ([[w:Forza_di_Coriolis|la forza di Coriolis]]);

 

Un esempio facilmente comprensibile è quello mostrato nella figura a fianco nella porzione in alto. Una macchina di massa ''M'' con un passeggero di massa ''m'' in fase di accelerazione.

 

 

L'esempio illustra come le forze apparenti sono una conseguenza dell'osservazione dei fatti in un sistema di riferimento non inerziale. In alcuni casi è più semplice studiare i fenomeni dal punto di vista di un sistema non inerziale.

 

 

# Dal punto di vista del sistema del sistema di riferimento ruotante, che si muove con la macchina, vi è una forza fittizia centrifuga che spinge gli occupanti della macchina verso l'esterno a cui ci oppone l'attrito del sedile che impedisce che le persone vadano a urtare la portiera. In questo riferimento il passeggero è fermo.

 

Un altro esempio di forza di Coriolis è dato da quello che succede se vi è una area di bassa pressione su cui convergono dei venti (frecce blu in figura). Se si è nell'emisfero boreale, a causa della rotazione terrestre (o, apparentemente, della forza di Coriolis) una corrente che viene da nord viene deviata verso ovest (tanto più quanto veloce è il vento), mentre una che viene da sud viene deviata verso est. Se non c'è vento, l'atmosfera ruota con la Terra e non si ha formazione di nessun vortice: è quindi la combinazione del moto della Terra e delle correnti d'aria a causare tale effetto. Come conseguenza nell'emisfero boreale i vortici girano in verso antiorario, mentre in quello australe ruotano in senso orario.

 

 

Se durante il moto di una macchina lungo una circonferenza varia l'intensità della velocità angolare si ha un qualcosa di simile a quello che si è descritto nel moto accelerato lineare. Dal punto di vista del sistema non inerziale vi è, oltre alla forza centrifuga, una forza apparente che spinge il passeggero verso il sedile (se la velocità angolare aumenta, se invece la macchina è in fase di decelerazione il passeggero viene spinto verso il parabrezza); quindi, l'effetto di questa forza apparente è simile a quanto avviene nel moto rettilineo. Dal punto di vista di un osservatore inerziale vi sono solo la forza centrifuga e l'accelerazione angolare con la relativa forza.

 

= Formulazione analitica=

 

 

La figura a fianco è un aiuto per una formulazione analitica dei moti relativi.

Gli assi delle coordinate nel riferimento '''B''' sono identificati dai versori '''u''''_j con j = (1, 2, 3) per i tre assi delle coordinate. Quindi la posizione del punto materiale secondo il sistema '''B''' è:

:<math> \mathbf{x}_\mathrm{B} = \sum_{j=1}^3 x'_j \mathbf{u'}_{j} \ </math>

{{Equazione|eq=<math>\mathbf{x}_\mathrm{A} =\mathbf{X}_\mathrm{AB} + \sum_{j=1}^3 x'_j \mathbf{u'}_j \ </math>|id=1}}

La derivata temporale dei versori '''u''''_j non è nulla se il sistema '''B''' ruota. Inoltre il vettore '''X'''_AB fornisce la posizione dell'origine di '''B''' rispetto ad '''A''', ma non include la rotazione del sistema '''B''', in quanto la eventuale rotazione del sistema è determinata solamente dai versori.

 

 

:<math> \frac {d \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt} =\frac{d \mathbf{X}_\mathrm{AB}}{dt} + \sum_{j=1}^3 \frac{dx'_j}{dt} \mathbf{u'}_j + \sum_{j=1}^3 x'_j \frac{d \mathbf{u'}_j}{dt} \ . </math>

Il primo termine è la velocità con cui si sposta l'origine di B ('''v'''_AB). Il secondo termine è la velocità del punto materiale, cioè '''v''''_B nel sistema di riferimento B, quindi possiamo scrivere:

 

==Sistema di riferimento ruotante==

 

Per derivare l'espressione delle forze apparenti, è necessario esplicitare le derivate dei versori delle coordinate del sistema in rotazione. Se la rotazione del sistema ''B'' è rappresentata da un vettore '''Ω''' che punta lungo l'asse di rotazione con direzione determinata dalla [[w:Regola_della_mano_destra|regola della mano destra]] e con ampiezza data da:

Riunendo i termini, ed esprimendo in funzione di '''a''''_B, si ha che:

{{Equazione|eq=<math>\mathbf{a'}_B=\mathbf{a}_A - 2\boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v'}_\mathrm{B} - \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{x'}_\mathrm{B} - \boldsymbol{\Omega} \times \left(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x'}_B \right)\ .</math>|id=7}}

:<math> -2\boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v'}_\mathrm{B}\ </math> è l'accelerazione di Coriolis normale alla direzione di <math> \boldsymbol{\Omega} </math> (velocità angolare del sistema B) e di <math> \mathbf{v'}_\mathrm{B}\ </math> (velocità del punto materiale nel sistema B). La forza di Coriolis quindi è una forza che fa deviare dalla traiettoria rettilinea che non fa lavoro e la cui azione è tanto maggiore quanto maggiore è <math> \mathbf{v'}_\mathrm{B} </math>.

 

<math>\frac{d \boldsymbol\Omega}{dt}=-6.47\cdot 10^{-22}\ rad/s^2</math>

Cioè in 4 miliardi di anni il giorno è passato da circa 12 ore alle 24 ore attuali. Essendo il valore della accelerazione angolare così

centrifuga è evidente in quanto apparentemente la forza peso è inferiore all'equatore rispetto ai poli (l'effetto non è molto vistoso a causa

della non perfetta sfericità della terra che è schiacciata ai poli). La forza di Coriolis è molto evidente quando si hanno oggetti con

velocità relativa molto alta rispetto alla terra in direzione non parallela all'asse di rotazione.

 

[[Image:Orbiter.PNG|thumb|250px|Un sistema di riferimento orbitante ma con orientazione fissata ''B'', mostrato a tre istanti differenti. I vettore unitari '''u'''_j, j = 1, 2, 3 non ruotano, ma mantengo una orientazione fissata, mentre l'origine del sistema di coordinate ''B'' si muove a velocità angolare costante ω attorno all'asse fisso '''Ω'''. AxL'asse '''Ω''' passa attraverso l'origine del sistema inerziale ''A'', l'origine del sistema ''B'' è ad una distanza fissa ''R'' dall'origine del sistema inerziale ''A''.]]