Fisica classica/Magnetismo della materia: differenze tra le versioni

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Una osservazione sperimentale chiara è data dall'effetto di campi di induzione magnetica caratterizzati localmente da forti gradienti, vi sono delle sostanze dette paramagnetiche che subiscono una attrazione dirigendosi, se libere di muoversi, dove il campo è più intenso (tale effetto è molto vistoso nei ferromagneti che sono un caso estremo), mentre altre sostanze vengono respinte allontanandosi da dove il campo è più intenso (diamagneti). I superconduttori vengono vistosamente respinti dal campo magnetico per cui spesso si definiscono diamagneti perfetti. Questo fatto sperimentale è in forte contrasto con l'elettrostatica. Infatti qualsiasi sostanza, sia essa conduttrice o isolante, posta in una regione dove è presente un campo elettrico che varia spazialmente tende a portarsi nella zona dove il campo elettrico è più intenso.
 
Alla base del paramagnetismo vi è l'osservazione che una spira percorsa da corrente è caratterizzata dal suo momento di dipolo magnetico <math>\vec m\ </math>, se poniamo tale dipolo magnetico in un campo di induzione magnetica esterno esso si disporrà seguendo le linee del campo, allineando la direzione del dipolo a quella del campo di induzione magnetica (questo comportamento è analogo al comportamento di un dipolo elettrico in un campo elettrico). La differenza sostanziale è nel fatto che, mentre in un dipolo elettrico allineato, il campo tra la carica elettrica negativa e positiva è in direzione opposta a quello del campo elettrico allineante (quindi ne diminuisce l'intensità), un dipolo magnetico non ha una inversione delle linee del campo, quindi, se allineato, rinforza il campo magnetico allineante. Il comportamento paramagnetico (e in misura più estrema quello ferromagnetico) di alcune sostanze si spiega con l'esistenza di un momento magnetico intrinseco di alcune molecole dovuto o al moto orbitale degli elettroni o al momento angolare intrinseco degli elettroni ( [[w:Spin|spin]]).
 
La spiegazione del diamagnetismo è più sottile, dipende infatti da quella che va sotto il nome di
[[w:Frequenza_di_Larmor|precessione di Larmor]]. Gli elettroni in un atomo anche se in numero pari hanno un momento magnetico dovuto al moto orbitale. In [[w:meccanica quantistica|meccanica quantistica]] la '''precessione di Larmor''' è la [[w:Precessione|precessione]] dei momenti magnetici degli elettroni in un atomo attorno alla direzione di un campo magnetico esterno omogeneo. La precessione è un caratteristico moto dei sistemi rigidi ruotanti, in cui alla rotazione attorno ad un asse del corpo rigido, si sovrappone una rotazione dell'asse stesso di rotazione: il moto di una [[w:Trottola|trottola]] è un esempio tipico di tale moto.
Tale moto dell'asse di rotazione, genera un ulteriore momento magnetico che si oppone al campo magnetico esterno riducendolo. Questo fenomeno è alla base del diamagnetsmo della materia. Tale effetto è molto piccolo, ma presente in tutti gli atomi. Tale fenomeno dipende, per quanto detto precedentemente, dal numero di elettroni presenti e non dipende dalla temperatura: quindi a temperature alte tutte le sostanze sono diamagnetche, in quanto gli effetti paramagnetici se presenti tendo a scomparire.
 
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:<math>\vec M=\lim_{d\tau ->0} \frac {\sum_{i=1}^N \vec m_i}{d\tau }\ </math>
Il limite è un limite fisico, non matematico, in quanto <math>d\tau\ </math> deve essere abbastanza piccolo, ma non troppo, in quanto il numero dei momenti magnetici elementari <math>\vec m_i\ </math> in esso contenuto deve essere sufficientemente grande da potere fare una media statistica.
Tale campo vettoriale prende il nome di vettore di magnetizzazione. Tale campo è nullo nel vuoto e nei materiali diamagnetici o paramagnetici
è proporzionale in modulo all'intensità che ha localmente il campo di induzione magnetica. Nei materiali paramagnetici il verso <math>\vec M\ </math> è lo stesso di <math>\vec B\ </math>. Nei materiali diamagnetici avrà verso opposto.
 
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Quindi la magnetizzazione del materiale equivale a far circolare sul bordo una corrente:
:<math>dI_c=dl\vec M\cdot \hat n\ </math>
La grandezza <math>|\vec J_{ml}|=dI_c/dl\ </math> è una corrente per unità di lunghezza che deve scorrere sul bordo della fetta quindi perpendicolare a <math>\hat n\ </math> per generare la magnetizzazione <math>\vec M\ </math>:
:<math>\vec J_{ml}=\vec M\times \hat n\ </math>
La corrente di magnetizzazione è l'analogo magnetico della densità di carica di polarizzazione per i dielettrici.
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L'equazione di Ampere si può anche scrivere come
:<math>\vec \nabla \times \vec H=\mu_o\vec J_i\ </math>
Cioè il vettore campo magnetico dipende dalle sole correnti impresse e non dipende dalle correnti di magnetizzazione e quindi ha un
significato simile al vettore [[Fisica_classica/Dielettrici#Il_vettore_spostamento_elettrico|spostamento elettrico]] definito nei dielettrici.
 
Nei mezzi isotropi paramagnetici o diamagnetici possiamo definire una permeabilità magnetica relativa <math>\mu_r\ </math> analoga ad <math>\epsilon_r\ </math> in maniera tale che il campo di un solenoide sia:
:<math>|\vec B|=\mu_r\mu_{\circ} nI\ </math>
Nella maggior parte delle sostanze <math>\mu_r\ </math> è prossima all'unità. Le sostanze per cui <math>\mu_r\ </math> è minore di uno che si dicono diamagnetiche, mentre quelle per cui <math>\mu_r\ </math> è maggiore di uno che si chiamano paramagnetiche; ma questo non porta nessun cambiamento nei fenomeni di tutti i giorni. I campi magnetici vengono in genere schermati malissimo dalla materia al contrario dei campi elettrici. In ogni caso possiamo facilmente esprimere il legame tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math>:
:<math>\vec B=\mu_o \mu_r\vec H\ </math>
e tra <math>\vec M\ </math> e <math>\vec H\ </math>:
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==Passaggio da un mezzo ad un altro==
Se il mezzo non è continuo possiamo definire i vettori <math>\vec B\ </math> e <math>\vec H\ </math>, ma nel passaggio da una regione all'altra non si possono considerare l'equazioni differenziali, invece le equazioni integrale associate continuano a mantenere la loro validità.
 
La prima equazione integrale della magnetostatica in presenza di materia è:
:<math>\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math>
Se non vi è corrente nell'interfaccia tra i due mezzi, consideriamo una superficie gaussiana cilindrica infinitesima che ha le basi infinitesime, parallele alla superficie di separazione nei due mezzi e eguali tra di loro ed un 'altezza infinitesima di ordine superiore rispetto alle dimensioni lineari delle basi. Il cilindro è a cavallo tra i due mezzi. Il flusso del campo <math>\vec B\ </math> è nullo attraverso tutta la superficie chiusa, ma in questo caso particolare, poiché il flusso attraverso le superfici laterali è nullo per la costruzione geometrica (area infinitesima di ordine superiore) anche il flusso uscente dalle basi è in totale nullo e quindi:
:<math>B_{n1}=B_{n2}\ </math>
come per <math>D_{n1}=D_{n2}\ </math> nei dielettrici.
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La seconda equazione integrale della magnetostatica riguarda il vettore <math>\vec H\ </math>:
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= \sum I_i\ </math>
Dove <math>I_i\ </math> sono le sole correnti impresse.
 
Consideriamoun cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infinitesimo, se non vi sono correnti impresse nella superficie di separazione:
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Per garantire che sia verificata la equazione precedente occorre che la componente tangenziale del campo elettrico alla superficie di separazione sia eguale nei due mezzi, algebricamente:
:<math>H_{t1}=H_{t2}\ </math>
Quindi passando da un mezzo ad un altro la componente normale di <math>\vec B\ </math> è continua e allo stesso tempo la componente tangenziale di <math>\vec H\ </math> è continua.
 
== I materiali [[w:Ferromagnetismo|ferromagnetici]] ==
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:<math>\vec B=\mu_o(\vec H+\vec M)\ </math>
rimane valida. Le relazioni tra i vettori a coppie cambiano di molto, in genere tali vettori non sono paralleli e possono essere addirittura diventare antiparalleli (come si vede nel seguito). Le equazioni di Maxwell in forma locale, come il passaggio da un mezzo all'altro, rimangono valide.
La suscettività magnetica dipende dall'intensità locale dei campi ed in genere non è costante: ha valori molto elevati e per alcune leghe arriva anche a <math>\chi =10^6</math>. Parlare di sucettività è troppo riduttivo e non esaurisce la descrizione dei fenomeni. Sono materiali ferromagnetici il [[w:ferro|ferro]], il [[w:cobalto|cobalto]], il [[w:nichel|nichel]], numerosi [[w:metalli di transizione|metalli di transizione]] e le loro rispettive leghe.
Anche molte leghe e composti intermetallici mostrano qualche tipo di ordinamento magnetico. L'ordine ferromagnetico si ha solo al di sotto di una certa temperatura detta temperatura di Curie. Tale temperatura difficilmente supera il migliaio di K come appare dalla tabella a fianco.
 
I materiali ferromagnetici hanno una magnetizzazione complicata, essa non è una semplice funzione lineare del campo magnetico applicato <math>\vec H\ </math>, come nel caso delle sostanze diamagnetiche e paramagnetiche. Il comportamento è descritto dal ciclo di isteresi, tale curva mostra la peculiarità di tali materiali. Descriviamo tale curva indicata schematicamente a fianco, in cui sull'asse orizzontale riportiamo il campo applicato dall'esterno <math>\vec H\ </math> (proporzionale alla corrente che scorre ad esempio in una avvolta sul suo asse) e sull'asse verticale l'induzione magnetica <math>\vec B\ </math> o la magnetizzazione <math>\vec M\ </math>.
 
[[Immagine:Magnetic_hysteresis.png|thumb|350px|left|Curva di Isteresi di un tipico materiale ferromagnetico ]]
 
Partiamo da una temperatura molto alta, quindi superiore alla temperatura di Curie, per cui non vi è nessuna magnetizzazione precedente. Inizialmente
vi è dipendenza lineare tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math>. Se in questa fase riduciamo a 0 la corrente il campione ritorna nella condizione iniziale. Superata questa zona la pendenza della curva aumenta e se annullassimo la corrente il sistema rimarrebbe magnetizzato. Al crescere di <math>\vec H\ </math> la curva cambia curvatura fino a divenire quasi orizzontale, il materiale ha una saturazione della magnetizzazione (i dipoli magnetici risultano quasi tutti allineati al campo come mostrato nella figura). Se adesso viene annullata la corrente rimane una induzione magnetica residua <math>B_r\ </math>. Per annullare la induzione magnetica residua bisogna applicare un [[w:Coercitività|campo coercitivo]] <math>H_c\ </math>, cioè fare circolare una corrente in direzione opposta a quella con cui si è magnetizzato. Se aumentiamo la corrente inversa la curva percorre una nuova curva di saturazione inversa a quella precedente. La relazione tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> dipende da quello che è avvenuto in precedenza cioè dalla storia del campione.
[[Immagine:B-H_loop.png|thumb|300px|right|Vari possibili cicli di isteresi di un materiale ferromagnetico.]]
 
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[[Immagine:Flux_circular_core.svg|thumb|300px|right|Anello ferromagnetico.]]
In realtà è più facile studiare un più semplice circuito magnetico come quello rappresentato in figura: un [[w:Toro_(geometria)|toro]] o se si vuole un anello pieno di materiale ferromagnetico su cui sono avvolte N spire e in cui scorre una corrente <math>I\ </math> costante. Chiamiamo <math>\ell\ </math> la lunghezza media del perimetro del toro ed <math>S\ </math> la sua sezione. La prima osservazione che in questo caso la direzione di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono dovunque le stesse e entrambi i campi sono confinati all'interno del ferromagnete.
Possiamo considerare una linea chiusa all'interno dell'anello (rappresentata dalle linee rosse in figura) facendo la circuitazione del campo magnetico su tale si ha che:
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= NI\ </math>
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:<math>\frac 1{\R_{p}}=\frac 1{\sum \R_{i}}\ </math>
 
Anche l'aria se limitata allo spazio di un traferro (G), piccola interruzione in aria del circuito magnetico, come mostrato nella figura accanto ha la sua riluttanza (molto elevata) ma pari
a:
:<math>\R_{G}=\frac{d}{\mu_o S}\ </math>
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==Diamagnetismo==
Si chiama diamagnetismo la proprietà di alcune sostanze di essere respinte dal campo magnetico. Il fatto che vengono respinte dipende dal fatto che la magnetizzazione <math>\vec M\ </math> che si crea all'interno del materiale si oppone al vettore campo magnetico
<math>\vec H\ </math> applicato dall'esterno. In ogni caso suscettività, <math>\chi\ </math> è molto piccola, il massimo valore si ha nel [[w:Bismuto|Bismuto]] in cui <math>\chi_{Bi}=-0.00017\ </math>.
 
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[[File:Präzession2.png|thumb|170px|Moto di precessione di un elettrone. La freccia più grande indica il campo magnetico esterno, mentre il la freccia piccola è la normale al piano.]]
 
Una spiegazione classiaca, è che l'applicazione del campo <math>\vec B\ </math> fa sì che sugli elettroni del materiale, che si muovono da un punto di vista classico in orbite circolari intorno al nucleo, agisca un momento della forza che determina una [[w:Precessione|precessione]] del piano (freccia piccola della figura) del loro moto di rotazione intorno alla direzione del campo (freccia grande della figura). Un elettrone in moto nella sua orbita equivale ad una corrente media di valore:
:<math>I=\frac {e\omega_o}{2\pi}\ </math>
in verso contrario al moto (l'elettrone ha una carica negativa), avendo indicato con <math>\omega_o\ </math> la velocità angolare. Il momento di dipolo magnetico di questa spira di corrente è:
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Il fenomeno della precessione è del tutto generale e quindi tutte le sostanza in qualche misura sono diamagnetiche. Normalmente gli atomi hanno orientamento casuale e quindi il loro momento magnetico è nullo. Se però si applica un campo esterno tutti gli elettroni orbitanti, indipendentemente dal loro momento magnetico, compiono lo stesso moto di precessione da cui deriva la magnetizzazione che riduce il campo all'interno del materiale.
Il fenomeno non dipende dalla temperatura. Non esiste un equivalente elettrostatico al diamagnetismo.
Per spiegare in maniera rigorosa il fenomeno bisogna fare ricorso alla meccanica quantistica.
 
==Paramagnetismo==
[[Image:Paramagnetic probe without magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in maniera casuale.]]
[[Image:Paramagnetic probe with weak magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in debole campo magnetico.]]
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Poiché la differenza di energia tra un dipolo magnetico allineato o in direzione opposta ad un campo magnetico è pari a:
:<math>\Delta E=2|\vec m||\vec B|\ </math>
Tale energia anche se <math>|\vec m|\ </math> ha un valore, relativamente grande (molti magnetoni di Bohr), e <math>|\vec B|\ </math> è molto intenso (qualche Tesla) è di gran lunga inferiore alla energia dovuta alla agitazione termica <math>k_BT\ </math> (a temperatura ambiente). Via via che diminuisce la temperatura cresce il potere allineante dei campi esterni ed a temperature molto basse si può avere che un numero significativo di dipoli è orientato nella direzione del campo, quasi indipendentemente dalla sua intensità, si raggiunge cioè una specie di saturazione. Tale saturazione non si trova nelle sostanze dielettriche che anche se hanno un momento di dipolo elettrico intrinseco elevato, la differenza di energia tra un dipolo elettrico allineato o in direzione opposta ad un campo elettrico vale <math>\Delta E=2|\vec p||\vec E|\ </math> ed in genere molto inferiore a quella dei dipoli magnetici a temperatura ambiente, per cui i materiali dielettrici non presentano a bassa tempeartura il fenomeno della saturazione.
 
Molti atomi hanno un numero dispari di elettroni e importanti asimmetrie nella struttura elettronica. Poiché ad un orbitale da un punto di vista classico corrisponde una corrente circolante e quindi un momento magnetico. Se un atomo ha un numero dispari di elettroni ha un momento magnetico orbitale. La cosa è più complicata in quanto oltre al momento orbitale, vi è momento magnetico intrinseco associato all'elettrone stesso dovuto alla quantizzazione del momento angolare ([[w:Spin|spin]]).
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che è definito a partire da grandezze fondamentali (massa e carica dell'elettrone, costante di Planck).
 
Quindi gli atomi, che non hanno mai un dipolo elettrico, possono avere un dipolo magnetico <math>N\mu_B \ </math>, introducendo una grandezza adimensionale N che rappresenta il numero di magnetoni di Bohr dell'atomo considerato; un numero che si discosta di poco dall'unità, infatti N al massimo vale 10.5 per un metallo delle terre rare il [[w:Disprosio|Disprosio]]. Se non vi nessun campo magnetico i singoli dipoli sono orientati casualmente e il momento totale del sistema macroscopico è nullo. Se è presente un campo magnetico esterno, i momenti di dipolo magnetico si orientano parallelamente ad esso e il suo valore medio è quindi diverso da zero come mostrato nella figura. Se l'intensità del campo magnetico è bassa la differenza di energia tra un dipolo orientato nella direzione del campo magnetico o nella direzione opposta <math>DU=2N\mu_B|B| \ </math> è molto più bassa alla energia media termica <math>k_BT\ </math>. Il momento di dipolo medio dipende dall'intensità del campo, ma solo una piccola percentuale si orienta nella direzione del campo (come mostrato nella seconda figura). Ma aumentando il campo sempre più dipoli si allinearanno con il campo, ma il numero disposti casualmente continua a rimanere molto elevato. Il calcolo analitico va fatto considerando la [[w:Distribuzione di Boltzmann|distribuzione di Boltzmann]], ed è un tipico calcolo
di [[w:Meccanica_statistica|meccanica statistica]] con tale calcolo si dimostra che:
:<math>\langle \vec m \rangle = N\frac {\mu_{B}^{2} \vec B} {3k_BT}\ </math>
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Ma al contrario della polarizzabilità, la magnetizzazione di sostanze paramagnetiche può manifestare fenomeni di saturazione quando, come succede a bassa temperatura, <math>N\mu_B|B|\ </math> (energia necessaria ad allineare i dipoli magnetici) diventa dello stesso ordine di grandezza di <math>k_BT \ </math> (l'energia media termica). Cioè avviene un fenomeno simile a quanto mostrato nell'ultima figura. La Magnetizzazione raggiunge un valore di saturazione non è più linearmente dipendente dal campo magnetico. Questo effetto viene utilizzato per raggiungere temperature molto basse con criostati a [[w:Demagnetizzazione_adiabatica|demagnetizzazione adiabatica]].
 
 
== I [[w:Superconduttore|superconduttori]] ==
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nulla, godono della proprietà di essere dei diamagneti perfetti cioè <math>\vec B=0\ </math> al loro interno (i superconduttori sono per il campo magnetico l'analogo dei conduttori per il campo elettrico): con essi si realizzano degli schermi magnetici perfetti (con una forte analogia con le gabbie di Faraday per quanto riguarda i campi elettrici). La spiegazione del loro comportamento è troppo complicata per descriverli in un corso di fisica classica.
 
== Riepilogo proprietà elettriche e magnetiche ==
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|+Riepilogo corrispondenze (differenze e analogie) elettrostatica e magnetostatica