Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m Bot: apostrofo dopo l'articolo indeterminativo e modifiche minori |
|||
Riga 12:
[[File:Flight dynamics with text.png|right|thumb|Una rappresentazione grafica dei 3 angoli che caratterizzano un corpo rigido]]
Un sistema di punti che mantengano fissa la loro distanza reciproca viene chiamato '''corpo rigido'''; ovviamente questa è sempre una semplificazione per permetterci di trattare alcune caratteristiche del moto di un corpo. In quanto la perfetta [[w:Deformazione|indeformabilità]] di un corpo non è possibile, sicuramente l'approssimazione è molto buona per alcuni tipi di oggetti compatti
La descrizione completa della dinamica di un corpo rigido
Non variando le distanze tra i punti la risultante delle forze interne al sistema sono nulle come anche il loro momento, per cui le equazioni cardinali della meccanica si riducono a:
Riga 24:
Il moto di un corpo rigido può essere molto complicato in quanto nel caso generale tutte e sei le grandezze fisiche che lo descrivono (la posizione del centro di massa e i tre angoli) possono variare nel tempo e nello spazio. Vi sono due casi particolari più semplici che è possibile considerare per semplificare la trattazione: il moto traslatorio ed il moto rotatorio.
== Moto traslatorio ==
[[File:Translation_of_Itokawa.svg|right|thumb|Movimento puramente traslazionale di un corpo rigido]]
Riga 36:
non aggiunge alcuna informazione alla conoscenza della dinamica del corpo rigido, se il moto è puramente traslatorio.
== Moto rotatorio ==
[[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|right|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un
Esaminiamo il caso di un moto rotatorio attorno ad un asse fisso. In questo caso tutte le parti del corpo compiono delle orbite circolari attorno all'asse di rotazione e quindi si muovono con velocità istantanea tanto maggiore quanto sono distanti dall'asse di rotazione. Nella figura a fianco muovendosi l'asta con velocità angolare <math>\vec \omega\ </math> (senso antiorario, verso uscente dal piano di rotazione), la velocità dei singoli punti distanti <math>\vec R\ </math> da O, valgono <math>\vec \omega \times \vec R\ </math>.
Se
:<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau</math>
Se il centro di massa si trova sull'asse di rotazione essendo nulla la accelerazione del centro di massa:
Riga 45:
la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale]] è identicamente nulla.
Ma anche se il centro di massa non si trova sull'asse di rotazione, come nella figura, il suo moto sarà una orbita circolare esattamente con tutti gli altri elementi, e quindi in media la forza risultante sarà nulla, quindi la prima equazione cardinale non aggiunge nulla alle informazioni della seconda equazione cardinale.
=== Convenzioni nel moto rotatorio dei corpi rigidi ===
Se la rotazione avviene attorno ad un asse fisso del corpo rigido nell'intervallo di tempo <math>dt\ </math>
si avrà una rotazione di un angolo <math>d\theta\ </math>: viene convenzionalmente definito un vettore <math>\vec d\theta\ </math>, che ha come modulo l'angolo e come direzione l'asse di rotazione (se il senso è antiorario). Quindi una regione del corpo rigido, identificata dal vettore <math>\vec r\ </math> che congiunge l'asse di rotazione e la regione, si sposta durante la rotazione di un arco <math>\vec ds\ </math>:
Riga 56:
Notiamo come i tre vettori <math>\vec d\theta\ </math>, <math>\vec \omega\ </math> ed <math>\vec \alpha\ </math> siano paralleli all'asse di rotazione e concordi con esso se il moto è antiorario.
== Moto rototraslatorio ==
[[File:RollendWiel.png|right|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio una sfera su una superficie con A il punto di contatto. Il punto A ha una velocità molto inferiore alle altre e non è rappresentata.]]
Il moto traslatorio ed il moto rotatorio attorno ad un asse fisso sono descrivibili in maniera semplice. Ma il caso più generale è quello di un moto in cui contemporaneamente vi sia traslazione e rotazione attorno ad un asse che cambia nel tempo. Questo è il caso più generale che senza perdere di generalità può essere
La descrizione di un generico moto di un sistema rigido non è univoca. La figura è un esempio. Potrebbe essere una boccia lanciata su una
Riga 114:
In questo caso è facile calcolare il momento angolare totale. Essendo tutti i punti del corpo rigido alla stessa distanza dal centro di rotazione, R, la loro velocità è pari in modulo a <math>v=\omega R\!</math>, quindi il momento angolare totale vale semplicemente:
:<math>\vec L = MR^2\vec\omega \!</math>
Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> con una grandezza caratteristica del guscio stesso
== Momento di Inerzia ==
Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> non è una costante, come nel caso del guscio cilindrico, ma dipende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione.
Come estensione del caso precedente definiamo
{{Equazione|eq=<math>I=\int_Vr^2 dm\!</math>|id=6}}
dove r è la distanza dall'asse delle masse infinitesime dm di cui si compone il compone il corpo di volume V.
Riga 130:
==Moto rotatorio con asse fisso di simmetria==
Nel caso particolare di <math>\vec L \ </math> parallelo a <math>\vec \omega \ </math>, cioè quando l'asse attorno a cui avviene la rotazione è un asse di simmetria del corpo. La definizione di asse di simmetria da un punto di vista concettuale è data nel seguito.
Se è applicato un momento di una forza <math>\vec \tau \ </math> rispetto all'asse di rotazione il momento angolare <math>\vec L \ </math> varia e il collegamento tra variazione del momento angolare e momento della forza è dato
{{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}}
Dove <math>\vec \alpha \ </math> è la derivata della velocità angolare anche essa parallela all'asse di rotazione. Vi è quindi una notevole analogia in questo caso tra la II equazione della dinamica (<math>\vec F=m \vec a</math> ), infatti la massa inerziale rappresenta la resistenza alla variazione della traslazione di un corpo, mentre il momento di inerzia è la resistenza alla variazione nel moto rotatorio. Ma bisogna aggiungere che, seppure il momento di inerzia sia una proprietà geometrica, essa dipende dall'asse di rotazione.
Riga 184:
:<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math>
A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia.
Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che
:<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math>
La cui superficie vale:
Riga 305:
|}
== Raggio giratore ==
Il momento di inerzia ha le dimensioni di una massa per una lunghezza al quadrato, viene introdotta una lunghezza caraterristica chiamata raggio giratore <math>r_g</math> definito come quella lunghezza al quadrato che moltiplicato per la massa del corpo eguaglia il momento di inerzia cioè:
:<math>I =Mr_g^2\,\!</math>
Riga 317:
Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa.
La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine sia
In maniera che il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa sia:
:<math>I_c = \int (x^2 + y^2) \, dm.</math>
Mentre il momento di inerzia relativo all'asse ''z''', che è perpendicolare alla distanza
:<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] \, dm</math>
Sviluppando i vari termini:
Riga 334:
Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare:
:<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math>
Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione
Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione
:<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math>
e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale:
:<math>L_z = I\omega\!</math>
Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione.
Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa
A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare:
{{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}}
Riga 356:
L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione.
Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto
= Energia cinetica e lavoro=
Riga 367:
ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>:
{{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}}
L'espressione appena data vale anche
sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione.
L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa.
Riga 373:
Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro:
:<math>dW=dE_k \!</math>
Quindi
:<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt=
I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math>
Riga 387:
[[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]]
Un moto che ha notevole importanza è quello in cui il punto di contatto tra il corpo rigido e il piano di appoggio abbia velocità nulla. In questo caso l'asse di rotazione non è un asse materiale ma geometrico, ovvero si sposta insieme al corpo rigido. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto con il piano che rimane fermo e quindi è sottoposto ad una forza di attrito statico. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società in condizioni normali di lavoro è ben descritta da
La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (una ruota, un cilindro, una sfera).
Riga 401:
:<math>a_{CM}=\alpha R</math>
Vale la pena di studiare alcuni casi particolari:
== Moto di puro rotolamento con sola forza applicata al CM ==
[[File:RuotaF.png|thumb|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sull'asse, (notare che nella figura la massa è definita con la m minuscola nel testo è maiuscola)]]
Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>m </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile).
Riga 411:
Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria è:
:<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}m</math>
Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|
:<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math>
Eguagliando le due espressioni:
Riga 428:
La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è per le ruote delle automobili non motrici se sgonfie.
Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta, anche la forza di attrito cambierebbe di segno, quindi tutte le equazioni rimarrebbero eguali, assieme alla condizione sulla forza massima applicabile.
== Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse ==▼
▲== Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse==
[[File:RuotaM.png|thumb|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento M (nel testo <math>\tau\ </math>) applicato all'asse di rotazione.]]
Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile in cui viene applicata una coppia sull'asse delle ruote stesse. Nella figura sono mostrate le forze ed i momenti. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare il verso della forza di attrito che è opposto al caso precedente. Il caso considerato è quello in cui come in figura si ha un momento motore.
Line 451 ⟶ 450:
Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa.
== Moto di puro rotolamento con un momento ed un forza applicata ==
[[File:RuotaMF.png|thumb|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento M (nel testo <math>\tau\ </math>) che agisce sul suo asse]]
Il caso qui studiato si ha quando sul corpo agisce contemporaneamente una forza <math>\vec F\ </math>, un momento <math>\vec \tau\ </math> e la forza di attrito. Nella figura, che è un esempio, <math>\vec F\ </math> è la componente della forza peso nella direzione del piano inclinato <math>|F|=Mg\sin \theta\ </math>; ipotizziamo che <math>\vec \tau\ </math> agisca in senso orario.
Line 457 ⟶ 456:
Il caso ha un carattere generale se a <math>mg\sin \theta\ </math> viene sostituita una forza generica con una componente parallela al piano di appoggio. Il moto può essere in salita come nella figura o in discesa quindi con <math>\theta<0\ </math>.
La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della
:<math>N=Mg\cos \theta\ </math>
Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio:
Line 488 ⟶ 487:
Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale
:<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math>
dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione
Supponendo trascurabile l'attrito
: <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math>
Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi:
| |||