Algebra 2/Algebra di secondo grado/Disquazioni di secondo grado: differenze tra le versioni

<p>Poiché il verso della disequazione è “<math>\le 0</math>” la disequazione è verificata per valori interni alle soluzioni dell’equazione, cioè: <math>-\tfrac 1 5\le x\le 0</math>;</p></li>

<li><p><math>x-3x^2>0</math> cambiamo di segno <math>3x^2-x<0</math> da cui <math>x(3x-1)<0</math>. Soluzioni: <math>0<x<\tfrac 1 3</math>.</p></li></ul>

}}

 

* <math>x^2+9\le 0</math> soluzioni nessun valore reale <math>\text{I.S.}=\emptyset</math>;

* <math>1-x^2<0</math> cambiamo di segno <math>x^2-1>0</math> soluzioni <math>x<-1\vee x>1</math>.

}}

 

Sono equazioni con tutti i coefficienti diversi da zero: <math>ax^2+bx+c=0</math>.

 

 

'''Primo caso:&nbsp;<math>\Delta >0</math>'''&nbsp;

* <math>x^2-3x-4>0</math>. Calcolo il valore del discriminante <math>\Delta =9+16=25</math> e le soluzioni dell’equazione associata <math>x_1=-1\,\vee\,x_2=4</math>. Le soluzioni della disequazione sono: <math>x<-1\,\vee\,x>4</math>;

* <math>x^2-3x-4<0</math>. In questo caso le soluzioni della disequazione sono <math>-1<x<4</math>.

}}

'''Secondo caso:&nbsp;<math>\Delta =0</math>'''&nbsp;

 

* <math>x^2+2x+1<0</math>. Si ha <math>(x+1)^2<0</math> che non è mai verificata;

* <math>4x^2+4x+1\le 0</math>. Si ha <math>(2x+1)^2\le 0</math> che è verificata solo per <math>x=-\tfrac 1 2</math>.

 

'''Terzo caso:&nbsp;<math>\Delta <0</math>'''&nbsp;

Studiamo il segno che assume il trinomio in questo caso. Dobbiamo eseguire i seguenti passaggi:

* <math>2x^2-3x+4>0</math>. Si ha <math>\Delta =9-32=-23<0</math>, verificata <math>\forall x\in \mathbb{R};</math>

* <math>x^2-x+1<0</math>. Si ha <math>\Delta =1-4=-3<0</math>, mai verificata per alcun valore reale di <math>x.</math>

}}

 

 

[[File:Algebra2 diseq2 fig016 prbl.svg|center|Traslazione di y=x^2 di vettore (1;-4)]]

}}

 

* I valori di <math>x</math> dell’insieme <math>H=\{x\in \mathbb{R} \mid x_A<x<x_B\}</math> rendono il trinomio negativo; infatti preso un valore dell’insieme, ad esempio <math>x=0</math>, il punto sulla parabola ha ordinata negativa <math>(-3)</math>. Per esercizio segnate il punto sul grafico e ripetete per <math>x=1</math>, <math>x=\tfrac 3 2</math>, <math>x=2</math>;

* I valori di <math>x</math> dell’insieme <math>K=\{x\in \mathbb{R} \mid x<x_A\vee x>x_B\}</math> rendono il trinomio positivo; infatti preso un valore dell’insieme, ad esempio <math>x=\tfrac 7 2</math>, il punto sulla parabola ha ordinata positiva. Per esercizio segnatelo sul grafico e ripetete per <math>x=-\tfrac{6}{5}</math>.

}}

 

 

[[File:Algebra2 diseq2 fig016abc prbl.svg|center|Risoluzione diseq. con segno trinomio 2°]]

}}

 

 

: '''(E)'''&emsp;<math>k>0</math>: Il coefficiente del termine di secondo grado è positivo così come il discriminante. La parabola ha concavità verso l’alto e due zeri reali distinti: il trinomio si annulla per <math>x=x_1\vee x=x_2</math>; è negativo per <math>x_1<x<x_2</math>; è positivo per <math>x<x_1\vee x>x_2</math>''.''

}}

 

* <math>-2<k<2</math>; il discriminante è negativo. La parabola non ha zeri reali: <math>\text{I.S.}=\emptyset</math>;

* <math>k=-2\vee k=2</math>; il discriminante è nullo. In ognuno dei due casi la parabola ha un unico zero reale: <math>\text{I.S.}=\{-1</math>, <math>1\}</math>.

}}

 

 

<math>\text{I.S.}=\{x\in \mathbb{R} \mid x>4\}=(4</math>, <math>+\infty)</math>.

}}

 

# costruire la tabella dei segni;

# cercare gli intervalli in cui il polinomio dato assume il segno richiesto.

}}

 

 

Otteniamo: <math>\text{I.S.}=\left\{x\in \mathbb{R} \mid -\tfrac 1 3\le x\le 0\vee x\ge 3\right\}</math>.

}}

 

 

Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori <math>f_1=x^2-9>0\Rightarrow x<-3\vee x>3</math> e <math>f_2=x^2+5>0\Rightarrow \forall x\in \mathbb{R}</math> per poi determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni.

}}

 

# si costruisce la tabella dei segni, segnando con un punto pieno gli zeri della frazione, se richiesti;

# si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto.

}}

 

<li><p>l’espressione <math>E</math> è negativa per <math>x\in B=\left\{x\in \mathbb{R} \mid x<-1\vee -\tfrac 1 2<x<\tfrac 1 2\vee x>\tfrac 3 2\right\}</math>.</p></li></ul>

</li></ol>

}}

 

 

<li><p>determiniamo <math>\text{I.S.}=\left\{x\in \mathbb{R} \mid x<-\tfrac 1 2\vee \tfrac{1-\sqrt 7} 6\le x\le \tfrac{1+\sqrt 7} 6\vee x>1\right\}</math>.</p></li></ol>

}}

 

 

<math>\text{I.S.}=\left\{x\in \mathbb{R}\mid\tfrac{3-2\sqrt 6} 3\le x<\tfrac{3-\sqrt 5} 2\vee \tfrac{3+\sqrt 5} 2<x\le \tfrac{3+2\sqrt 6} 3\right\}</math>.

}}