Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado: differenze tra le versioni

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<li><p><math>4 x ^{2 } + 9 = 0</math>.</p>
<p>Risoluzione: <math>4 x ^{2 } = -9 \Rightarrow x ^{2 } = - \tfrac{9 }{4 }</math>. L’equazione non ammette soluzioni reali in quanto il quadrato di un numero reale non è mai negativo.</p></li></ul>
 
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<li><p><math>x ^{2 } + x = 0</math>.</p>
<p>Raccogliendo <math>x</math> a fattore comune, si ha <math>x ( x + 1 ) = 0</math>, da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue <math>x = 0 \vee x + 1 = 0</math> da cui <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = - 1</math>.</p></li></ul>
 
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Poiché <math>\Delta < 0</math> l’equazione non ammette soluzioni reali.</p></li>
</ul>
 
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{{Testo centrato|
<math>x_{1\text{,}2}=- 1 \pm \sqrt{1 + 4} = - 1\pm \sqrt{5}\Rightarrow x_{1} = - 1 + \sqrt{5} \vee x_{2} = - 1 - \sqrt{5}.</math>}}</p></li></ul>
 
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<li><p><math>x^{2} - 6 x + 8 = 0</math>.</p>
<p>Il coefficiente <math>b</math> è pari e il coefficiente <math>a=1</math>, quindi possiamo applicare la formula ridottissima <math>x_{1\text{,}2} = 3 \pm \sqrt{9 - 8}</math>, quindi <math>x_{1}=2 \vee x_{2} = 4</math>.</p></li></ul>
 
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<li><p><math>( x - 1 )^{2} + 2 ( x - 1 ) = 0</math>.</p>
<p>Sostituendo <math>x - 1 = t</math> l’equazione diventa <math>t^{2} + 2t = 0</math> le cui soluzioni sono <math>t ( t + 2 ) = 0 \Rightarrow t_{1} = 0 \vee t + 2 = 0 \Rightarrow t_{2} = - 2</math>. Sostituendo <math>x - 1 = t</math> si ha <math>x - 1 = 0 \vee x - 1 = - 2</math> quindi l’equazione assegnata ammette le due soluzioni&nbsp;<math>x_{1} = - 1 \vee x_{2} = 1.</math></p></li></ul>
 
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'''Passo VI'''&emsp;
Confrontiamo con le <math>\text{C.E.}</math>; in questo caso solo <math>x_{1}</math> appartiene all’insieme <math>\mathcal{D}</math>; diciamo che l’insieme soluzione è: <math>\text{I.S.}=\left\{-\tfrac{10}{3}\right\}</math> mentre <math>x_{2} = 1</math> non è accettabile.
 
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<li><p><math>x^{2} - 12 x + 36 = 0</math>.</p>
<p>Il discriminate <math>\Delta = 12^{2} - 4 \cdot 36 = 144 - 144 = 0</math>. Le radici sono coincidenti, applicando la formula risolutiva si ha <math>x_{1} = x_{2} = 6</math>. Applicando le formule per calcolare somma e prodotto si ha <math>x_{1} + x_{2} = 12</math> e <math>x_{1} \cdot x_{2} = 36</math> da cui si conclude ugualmente che <math>x_{1} = x_{2} = 6</math>.</p></li></ul>
 
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}}</p></li>
</ul>
 
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* <math>-3 x^{2} - 24 x - 21 = 0</math>. L’equazione ha soluzioni reali in quanto <math>\Delta = 324 > 0</math>; dal momento che non vi sono variazioni, l’equazione ha due radici negative.
* <math>x^{2} - 10 x + 25 = 0</math>. L’equazione ha due soluzioni coincidenti in quanto <math>\Delta = 0</math>; dal momento che vi sono due variazioni, le due radici coincidenti sono positive.
 
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# studiamo il segno del discriminante: <math>\Delta = ( 2 k + 3 )^{2} - 4 k ( k + 1 ) \geq 0</math> da cui ricaviamo <math>4 k^{2} + 12 k + 9 - 4 k^{2} - 4 k \geq 0 \Rightarrow 8 k + 9 \geq 0.</math> Pertanto se <math>k = - \tfrac{9}{8}</math> le soluzioni sono coincidenti, se <math>k > - \tfrac{9}{8}</math> le soluzioni sono reali distinte, se invece <math> k<-\tfrac{9}{8} </math> non ci sono soluzioni reali;
# dalla formula della somma delle soluzioni ricaviamo <math>x_{1} + x_{2} = - \tfrac{( 2 k + 3 )}{( k + 1 )}</math> e quindi la somma sarà nulla se <math>2 k + 3 = 0 \Rightarrow k = - \tfrac{3}{2}</math>. Poiché <math>- \tfrac{3}{2} < - \tfrac{9}{8}</math>, per <math>k = - \tfrac{3}{2}</math> non ci sono soluzioni reali, infatti sostituendolo nell’equazione quest’ultima diventa <math> x^2+3=0 \Rightarrow x^2=-3</math> impossibile!
 
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[[File:Algebra2 eq2 fig006 trap.svg|center|Esempio problema di 2°]]
 
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