Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado: differenze tra le versioni

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'''Passo II''' 
Imponiamo le ''condizioni di esistenza'' (<math>\text{C.E.}</math>): \;<math>\text{C.E.} x \neq - 1 \wedge x \neq 2</math>. La ricerca dei valori che risolvono l’equazione si restringe ai numeri reali appartenenti all’insieme, <math>\mathcal{D} = \mathbb{R} - \{-1</math>, <math>2\}</math> detto ''dominio'' dell’equazione o ''insieme di definizione'' (abbreviato <math>\text{I.D.}</math>).<br /><br />
 
'''Passo III'''&emsp;
L’equazione è fratta, poiché l’incognita <math>x</math> compare nel denominatore. Trasportiamo i termini del secondo membro a sinistra del segno di uguaglianza e scomponiamo in fattori i denominatori:
{{Testo centrato|
<math>\tfrac{k + x}{2 x} \left( \tfrac{k + x}{k - x} + \tfrac{k - x}{k +x} \right) - k - \tfrac{2 k}{x ( k - x )} + 1=0\qquad \text{C.E.}\; x \neq 0 \wedge x \neq k \wedge x \neq - k.</math>}}
Svolgiamo i calcoli nella parentesi e moltiplichiamo: <math>\tfrac{k^{2} + x^{2}}{x ( k - x )} - k - \tfrac{2 k}{x ( k - x )} + 1=0</math>; Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamo il denominatore: <math>k x^{2} + k x \cdot ( 1 - k ) + k \cdot ( k - 2 )=0</math>;
 
* il terzo coefficiente è <math>k-2</math>, se <math>k = 2</math> le <math>\text{C.E.}</math> sono <math>x \neq 0 \wedge x \neq 2 \wedge x \neq - 2</math> e l’equazione diventa <math>x^{2} - x = 0</math> le cui soluzioni sono <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = 1</math> di cui <math>x_{1} = 0</math> non è accettabile per le <math>\text{C.E.}</math>
 
Per <math>k \in \mathbb{R} - \{0</math>, <math>1</math>, <math>2\}</math> l’equazione è completa, l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante <math>\Delta = (1 - k)^{2}-4(k-2)=(k-3)^{2}</math>, essendo <math>\Delta \geq 0\; \forall k</math>, si avranno sempre due soluzioni reali: coincidenti se <math>k = 3 \Rightarrow x_{1} = x_{2} = 1</math> accettabili essendo le <math>\text{C.E.}\; x \neq - 3 \wedge x \neq 0 \wedge x \neq 3</math>; distinte se <math>k \neq 3 \Rightarrow x_{1} = 1 \vee x_{2} = k - 2</math> e, confrontando con le <math>\text{C.E.}</math>, si <math>x_{1} = 1</math> non è accettabile se <math>k = - 1</math>, mentre <math>x_{2}</math> è sempre accettabile per <math>\forall k \in \mathbb{R} - \{0</math>, <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math>, <math>-1\}</math>.
 
Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti:
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