Algebra 2/Numeri reali e radicali/Radicali: differenze tra le versioni

{{Testo centrato|
<math>\sqrt{a\pm \sqrt b}=\sqrt{\tfrac{a+\sqrt{a^2-b}} 2}\pm \sqrt{\tfrac{a-\sqrt{a^2-b}} 2}</math>
}}
 
Dimostriamo la formula <math>\sqrt{a+ \sqrt b}=\sqrt{\tfrac{a+\sqrt{a^2-b}} 2}+ \sqrt{\tfrac{a-\sqrt{a^2-b}} 2}.</math>
 
* eleviamo al quadrato ambo i termini dell’uguaglianza ottenendo:
{{Testo centrato|
<math>a+ \sqrt b=\tfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} +2\sqrt{\tfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\cdot\sqrt{\tfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}+\tfrac{a-\sqrt{a^2-b}} 2;</math>
}}
* sommiamo i radicali simili e moltiplichiamo quelli con lo stesso indice:
{{Testo centrato|
<math>a+ \sqrt b=\tfrac{2a}{2}+2\sqrt{\tfrac{a^{2}-\left(a^{2}-b\right)}{4}};</math>
}}
* da cui semplificando
{{Testo centrato|
<math>a+ \sqrt b=a+ \sqrt b.</math>
}}
 
* <math>\sqrt{7+2\sqrt 6}=\sqrt{7+\sqrt{24}}</math> per applicare la formula abbiamo portato il fattore <math>2</math> dentro la radice: <math>\sqrt{7+\sqrt{24}}=\sqrt{\tfrac{7-\sqrt{49-24}} 2}+\sqrt{\tfrac{7-\sqrt{49-24}} 2}=\sqrt{\tfrac{7+5} 2}+\sqrt{\tfrac{7-5} 2}=\sqrt 6+1</math>;
* <math>\sqrt{5+\sqrt 3}=\sqrt{\tfrac{5+\sqrt{25-3}} 2}+\sqrt{\tfrac{5-\sqrt{25-3}} 2}=\sqrt{\tfrac{5+\sqrt{22}} 2}+\sqrt{\tfrac{5-\sqrt{22}} 2}</math> la formula non è stata di alcuna utilità in quanto il radicale doppio non è stato eliminato: in questo caso infatti <math>5^2-3 = 25-3=22</math> non è un quadrato perfetto.
 
}}
 
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