Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità: differenze tra le versioni
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=== Intersezione di due eventi tra loro dipendenti ===
{{Algebra1/Definizione| Si chiama ''probabilità condizionata'' o ''subordinata'' di un evento <math>B</math> rispetto a un evento <math>A</math>, e si indica con <math>P(B/A)</math>, la probabilità di <math>B</math> nell’ipotesi che l’evento <math>A</math> si sia già verificato. }}
{{Algebra1/Esempio1| Calcolare la probabilità di avere due palline nere in due estrazioni successive da un’urna contenente tre palline bianche e due nere (questa volta però senza rimettere la pallina nell’urna una colta estratta).<br />
Dato che vogliamo calcolare la probabilità dell’evento intersezione <math>(N_1\cap N_2)</math> questa sarà data dalla probabilità dell’evento <math>N_1</math> moltiplicata per la probabilità dell’evento <math>N_2</math> dopo che si è verificato l’evento <math>N_1</math>. La probabilità dell’evento <math>N_2</math> dopo il verificarsi di <math>N_1</math> non è la stessa dell’esperimento precedente in quanto la pallina estratta non viene rimessa nell’urna.<br />
:<math>N_{1}=</math>“pallina nera alla I° estrazione” <math>\Rightarrow P(N_1)=\tfrac 2 5;</math><br />
:<math>N_{2}=</math>“pallina nera alla II° estrazione”, dopo che l’evento <math>N_1</math> si è verificato, <math>\Rightarrow P(N_2/N_1)=\tfrac 1 4.</math>
[[File:Algebra2 probab fig013 alb.svg|center|Diagramma ad albero per la probabilità]]
La probabilità dell’insieme intersezione diventa: <math>P(N_1\cap N_2)=P(N_1)\cdot P(N_2/N_1)=\tfrac 2 5\cdot \tfrac 1 4=\tfrac 2{20}.</math><br />
Attraverso il diagramma ad albero è facile calcolare le probabilità degli eventi elementari di questo esperimento con <math>\Omega =\{(B_1;B_2)</math>, <math>(B_1;N_2)</math>, <math>(N_1;B_2)</math>, <math>(N_1;N_2)\}.</math>
}}
{{Algebra1/Esempio1| Una scatola di caramelle contiene 20 caramelle assortite alla frutta, incartate allo stesso modo e quindi irriconoscibili. Di esse 14 sono al limone. Fabio ne prende 2. Qual è la probabilità che siano tutte e due al limone?<br />
:<math>E_1=</math>“la prima caramella è al limone” <math>\Rightarrow P(E_1)=\tfrac{14}{20};</math><br />
:<math>E_2=</math>“la seconda è al limone”. Questo evento è dipendente dal primo, perché se Fabio ha preso una caramella al limone nella scatola rimangono 19 caramelle di cui 13 al limone quindi <math>P(E_2/E_1)=\tfrac{13}{19}.</math><br />
{{Testo centrato|
<math>P(E_1\cap E_2)=P(E_1)\cdot P(E_2/E_1)=\tfrac{14}{20}\cdot \tfrac{13}{19}=\tfrac{91}{190}.</math>
}}
}}
{{Algebra1/Box vuoto|'''Teorema delle probabilità composte''': Dati due eventi <math>A</math> e <math>B</math>, entrambi appartenenti allo stesso spazio degli eventi, la probabilità dell’intersezione degli eventi è uguale al prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo evento condizionata al primo <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A).</math>}}
Per la proprietà commutativa dell’intersezione abbiamo: <math>A\cap B=B\cap A</math> quindi anche <math>P(A\cap B)=P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A/B)</math>.
Possiamo ora meglio definire la dipendenza e l’indipendenza di due eventi.
{{Algebra1/Definizione| Due eventi <math>A</math>, <math>B\in \wp(\Omega)</math> si dicono ''indipendenti'' se la probabilità di <math>B</math> e la probabilità di <math>B</math> subordinata a <math>A</math> sono uguali. Si dicono ''dipendenti'' nel caso contrario.<br /> <math>P(B)=P(B/A)\to \text{ eventi indipendenti}\qquad
{P}(B)\neq P(B/A)\to \text{ eventi dipendenti.}</math> }}
{{Algebra1/Osservazione| Il teorema delle probabilità composte vale sia nel caso di eventi dipendenti che indipendenti in quanto nel caso di eventi indipendenti <math>P(B)=P(B/A).</math>
}}
=== Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata ===
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