Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità: differenze tra le versioni
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==== Il problema del Cavalier de Méré ====
==== Il problema del Cavalier de Méré ====
Il Cavalier de Méré pose al grande matematico francese Blaise Pascal nel 1654 il seguente problema.
{{Algebra1/Problema| Perché scommettendo alla pari sull’evento <math>A=</math>“ottenere almeno una volta un 6 in 4 lanci di un dado” ho accumulato una fortuna, mentre rischio la rovina scommettendo alla pari sull’evento <math>B=</math>“ottenere almeno una coppia di 6 in 24 lanci di due dadi”.<br /><br />
Scommettere alla pari, <math>1:1</math>, significa assegnare alla probabilità degli eventi <math>A</math> e <math>B</math> il valore pari a <math>\tfrac 1 2</math>. Consideriamo la probabilità dell’evento <math>A</math> composto dai seguenti quattro eventi indipendenti ma non incompatibili,<br />
:<math>E_1=</math>“ottenere 6 nel primo lancio”;<br />
:<math>E_2=</math>“ottenere 6 nel secondo lancio”;<br />
:<math>E_3=</math>“ottenere 6 nel terzo lancio”;<br />
:<math>E_4=</math>“ottenere 6 nel quarto lancio”.<br />
In questo caso conviene calcolare la probabilità dell’evento complementare: <math>\overline A=</math>“non ottenere un 6 in quattro lanci di un dado”, <math>\overline A=(\overline{E_1}\cap \overline{E_2}\cap \overline{E_3}\cap \overline{E_4}).</math><br />
Dato che gli eventi sono indipendenti ed equiprobabili abbiamo:
{{Testo centrato|
<math>P(\overline{E_1})=P(\overline{E_2})=P(\overline{E_3})=P(\overline{E_4})=\tfrac 5 6.</math>
}}
e per la regola della probabilità dell’intersezione di eventi indipendenti è data dal loro prodotto. Quindi <math>P(\overline A)=\tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6=\tfrac{625}{{1\,296}}={0,482}={48,2}\%</math>. La probabilità dell’evento <math>A</math> sarà quindi superiore a <math>{0,5}</math> in quanto <math>P(A)=1-P(\overline A)=1-{0,482}={0,518}={51,8}\%</math> e in un numero considerevole di scommesse il Cavalier de Méré accumulava una fortuna.<br />
Consideriamo ora la probabilità dell’evento <math>B</math>, dove valgono considerazioni analoghe. Anche in questo caso conviene calcolare la probabilità dell’evento complementare <math>\overline B</math>. Dato che i casi possibili nel lancio di due dadi sono 36 il caso favorevole all’evento 6 nel primo dado e 6 nel secondo dado è uno soltanto. Se <math>P(B)=\tfrac 1{36} \Rightarrow P(\overline B)=1-P(B)=\tfrac{35}{36}</math>. Dato che i lanci dei due dadi sono 24 e tutti tra loro indipendenti avremo:
{{Testo centrato|
<math>P(\overline B)=\underbrace{\tfrac{35}{36}\cdot\tfrac{35}{36}\cdot\tfrac{35}{36}\cdot\ldots\cdot\tfrac{35}{36}}_{24\text{ volte}}=\tfrac{35^{24}}{36^{24}}={0,509}={50,9}\%</math>
}}
da cui <math>P(B)=1-{0,509}={0,491}={49,1}\%</math>. Così è spiegato come mai in un grande numero di scommesse, scommettendo alla pari, il Cavalier de Méré si rovinasse.
}}
=== Intersezione di due eventi tra loro dipendenti ===
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