Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità: differenze tra le versioni
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==== Diagrammi ad albero ====
Una rappresentazione grafica che può risultare utile nello studio della probabilità dell’evento intersezione detto anche studio delle ''probabilità composte'' è il diagramma ad albero. Le linee dell’albero si dicono ''rami'', mentre i punti da cui partono e arrivano i rami si dicono ''nodi'', il nodo iniziale si chiama ''radice''.
La costruzione di un diagramma ad albero nel caso delle probabilità composte consente di eseguire un’analisi completa di tutti i possibili esiti di una prova. Ogni percorso dell’albero che va dalla radice al nodo terminale indica una sequenza di eventi congiunti, incompatibile con qualsiasi altro percorso dell’albero. La probabilità di ogni singolo evento si indica sui rami e moltiplicando le probabilità che si incontrano nel percorso si ottiene la probabilità della congiunzione degli eventi che formano il percorso. Dato che ogni percorso che va dalla radice al nodo terminale individua eventi incompatibili, se vogliamo trovare l’unione di due o più percorsi possiamo semplicemente sommarli. L’esempio precedente può essere schematizzato in questo modo:
[[File:Algebra2 probab fig011 alb.svg|center|Diagramma ad albero per la probabilità]]
L’albero può essere semplificato considerando gli eventi coinvolti e i loro complementari.
{{Algebra1/Esempio1| In un’urna abbiamo tre palline bianche e due nere. Facciamo due estrazioni rimettendo dopo la prima estrazione la pallina nell’urna. Vogliamo calcolare la probabilità dell’uscita di una pallina nera nelle due estrazioni.<br />
:<math>B_{1}=</math>“nella prima estrazione pallina bianca” <math>\Rightarrow P(B_1)=\tfrac 3 5;</math><br />
:<math>B_{2}=</math>“nella seconda estrazione pallina bianca” <math>\Rightarrow P(B_2)=\tfrac 3 5</math> in quanto la pallina si rimette nell’urna;<br />
:<math>N_{1}=</math>“nella prima estrazione pallina nera” <math>\Rightarrow P(N_1)=\tfrac 2 5;</math><br />
:<math>N_{2}=</math>“nella seconda estrazione pallina nera” <math>\Rightarrow P(N_2)=\tfrac 2 5.</math><br />
Il problema è sempre lo stesso: calcolare una probabilità su un insieme intersezione partendo dalle probabilità degli eventi componenti. Devo moltiplicare la probabilità di avere nera nella prima estrazione <math>P(N_1)=\tfrac 2 5</math> con la probabilità di avere nera nella seconda estrazione <math>P(N_2)=\tfrac 2 5</math> in quanto, l’uscita della prima pallina nera, evento considerato ora come avvenuto, non influenza la probabilità di avere nera alla seconda estrazione in quanto la pallina estratta viene rimessa nell’urna. Quindi: <math>P(N_1\cap N_2)=\tfrac 2 5\cdot \tfrac 2 5=\tfrac 4{25}</math> in quanto i due eventi sono indipendenti.
[[File:Algebra2 probab fig012 alb.svg|center|Diagramma ad albero per la probabilità]]
Le domande che posso fare su questo esperimento sono relative allo spazio degli eventi <math>\wp(\Omega).</math> ove <math>\Omega =\{(B_1;B_2)</math>, <math>(B_1;N_2)</math>, <math>(N_1;B_2)</math>, <math>(N_1;N_2)\}</math> sono del tipo “Qual è la probabilità che nelle due estrazioni escano palline di diverso colore”, “Qual è la probabilità che la prima pallina sia bianca”, ecc. }}
==== Il problema del Cavalier de Méré ====
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