Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità: differenze tra le versioni
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=== Intersezione di due eventi tra loro indipendenti ===
{{Algebra1/Definizione| Due eventi <math>A</math> e <math>B</math> si dicono ''indipendenti'' se il verificarsi di <math>A</math> non cambia la probabilità del verificarsi di <math>B</math>, si dicono invece ''dipendenti'' se il verificarsi di <math>A</math> cambia la probabilità di <math>B</math> rispetto a quella valutata per <math>B</math> prima del verificarsi di <math>A</math>. }}
{{Algebra1/Esempio1| Determinare la probabilità che lanciando una moneta e un dado regolari esca testa e un numero maggiore di 4.<br />
:<math>A=</math>“uscita di Testa nel lancio di una moneta” <math>\Rightarrow P(A)=\tfrac 1 2;</math><br />
:<math>B=</math>“uscita di un numero maggiore di 4 nel lancio di un dado” <math>\Rightarrow P(B)=\tfrac 2 6;</math><br />
:<math>(A\cap B)=</math>“testa e un numero maggiore di 4 nel lancio di una moneta e di un dado”.<br />
Vediamo come determinare <math>P(A\cap B)</math>. I due eventi <math>A</math> e <math>B</math> non si influenzano in quanto l’uscita di testa non modifica la probabilità dell’uscita di 4 nel lancio del dado.<br />
Notiamo subito una situazione diversa rispetto a quella precedente dell’unione di due eventi. Nel caso precedente, lo spazio degli eventi era lo stesso per l’evento <math>A</math>, per l’evento <math>B</math> e per l’evento unione <math>(A\cup B)</math>. Ora invece per l’evento <math>A</math> l’insieme degli eventi elementari è <math>\Omega_1=\{T,C\}</math>, per l’evento <math>B</math> invece, l’insieme degli eventi elementari è <math>\Omega_2=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.</math> L’evento <math>(A\cap B)</math> ha il seguente insieme degli eventi elementari:
{{Testo centrato|
<math>\Omega=\{(T;1)\text{, }(T;2)\text{, }(T;3)\text{, }(T;4)\text{, }(T;5)\text{, }(T;6)\text{, }(C;1)\text{, }(C;2)\text{, }(C;3)\text{, }(C;4)\text{, }(C;5)\text{, }(C;6)\}.</math>
}}
Lo spazio degli eventi elementari dell’intersezione è dato dal prodotto cartesiano dello spazio elementare di <math>A</math> moltiplicato per quello di <math>B</math>. Si può calcolare la probabilità in due modi:<br /><br />
'''Modo I''' 
Si indicano i casi favorevoli e i casi possibili rispetto all’evento intersezione: i casi favorevoli all’evento sono due: <math>(A\cap B)=\{(T;5)\text{, }(T;6)\}</math>, i casi possibili sono dodici:
{{Testo centrato|
<math>\Omega=\{(T;1)\text{, }(T;2)\text{, }(T;3)\text{, }(T;4)\text{, }(T;5)\text{, }(T;6)\text{, }(C;1)\text{, }(C;2)\text{, }(C;3)\text{, }(C;4)\text{, }(C;5)\text{, }(C;6)\}</math>
}}
la probabilità dell’evento intersezione è: <math>P(A\cap B)=\tfrac 2{12}=\tfrac 1 6.</math>
[[File:Algebra2 probab fig010 int.svg|center|Probabilità unione e intersezione di eventi]]
<br />
'''Modo II''' 
I due eventi non si influenzano, procediamo con due scelte successive: prima il lancio della moneta con probabilità pari a <math>\tfrac 1 2</math> e poi il lancio del dado con probabilità pari a <math>\tfrac 2 6</math>. Se si verifica il primo evento la probabilità si riduce da 1 a <math>\tfrac 1 2</math> a cui devo applicare la probabilità che si verifichi il secondo evento pari a <math>\tfrac 2 6</math>, moltiplicando le probabilità dei singoli eventi.<br />
:<math>A=</math>“uscita di Testa nel lancio di una moneta” <math>\Rightarrow P(A)=\tfrac 1 2;</math><br />
:<math>B=</math>“uscita di un numero maggiore di 4 nel lancio di un dado” <math>\Rightarrow P(B)=\tfrac 2 6;</math><br />
:<math>(A\cap B)=</math>“uscita di testa e di un numero maggiore di 4 nel lancio di una moneta e di un dado” <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\tfrac 1 2\cdot \tfrac 2 6=\tfrac 2{12}.</math><br />
Generalizziamo: dati due eventi aleatori <math>A</math> e <math>B</math> tra loro indipendenti la probabilità dell’evento intersezione tra <math>A</math> e <math>B</math> è data dalla probabilità di <math>A</math> moltiplicata per la probabilità di <math>B</math>:
{{Testo centrato|
<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).</math>
}}
}}
==== Diagrammi ad albero ====
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