Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità: differenze tra le versioni
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=== Unione di due eventi tra loro compatibili ===
{{Algebra1/Esempio1| Consideriamo il lancio di un dado regolare, vogliamo trovare la probabilità dell’uscita di un numero maggiore di 2 o di un numero dispari.<br />
Gli eventi <math>A=</math>“uscita di un numero maggiore di 2” e <math>B=</math>“uscita di un numero dispari” sono compatibili in quanto le facce 5 e 3 appartengono sia all’evento <math>A</math> che all’evento <math>B</math>.<br />
[[File:Algebra2 probab fig009 int.svg|center|Probabilità dell'intersezione di eventi]]
'''Modo I''' 
La probabilità che esca un numero maggiore di <math>2</math> o un numero dispari è uguale a <math>\tfrac 5 6</math>: infatti i casi favorevoli sono 5 (le facce 1, 3, 4, 5 e 6) su un totale di <math>6</math> casi possibili.<br /><br />
'''Modo II''' 
Calcoliamo la probabilità dell’unione dei due eventi considerando le proprietà dei singoli eventi. In questo caso non possiamo sommare come nei casi precedenti le probabilità dei singoli eventi. Infatti <math>P(A)+P(B)=\tfrac 4 6+\tfrac 3 6=\tfrac 7 6</math> che contraddice l’assioma della probabilità. Occorre togliere la probabilità dell’intersezione tra <math>A</math> e <math>B</math> contata due volte, una volta per <math>A</math> e una per <math>B</math>, che è uguale a <math>\tfrac 2 6</math>: due casi favorevoli (le facce 3 e 5) su sei casi possibili:
{{Testo centrato|
<math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\tfrac 4 6+\tfrac 3 6-\tfrac 2 6=\tfrac 5 6.</math>
}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| Calcolare la probabilità che estraendo a caso un numero della tombola esso contenga la cifra 5 oppure sia multiplo di 5.<br />
La prima domanda da farsi è se i due eventi sono compatibili o incompatibili. Poiché esistono numeri della tombola che contengono la cifra 5 e che sono anche multipli di 5 (per esempio 15, 50, …) i due eventi sono compatibili. Di conseguenza bisogna applicare la regola <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).</math><br />
:<math>A=</math>“estrarre un numero che contiene la cifra 5”. Questi numeri sono: 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, …, 59, 65, 75, 85, in tutto 18 ne segue che: <math>p(A)=\tfrac{18}{90}</math>;<br />
:<math>B=</math>“estrarre un numero multiplo di 5”. I multipli di 5 sono 5, 10, 15, 20, … due per ogni decina, quindi 18 in tutto, ne segue che: <math>p(B)=\tfrac{18}{90};</math><br />
:<math>A\cap B=</math>“estrarre un cifra che contiene 5 ed è multiplo di 5”. Questi numeri sono 5, 15, 25, 35, 45, 50, 55, 65, 75, 85 in tutto sono 10 quindi: <math>p(A\cap B)=\tfrac{10}{90}.</math><br />
Applichiamo la regola della probabilità utilizzata nel modo II del precedente esempio quindi:
{{Testo centrato|
<math>A\cup B=</math>“estrarre un numero che contenga la cifra 5 oppure sia multiplo di 5”.
<math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\tfrac{18}{90}+\tfrac{18}{90}-\tfrac{10}{90}=\tfrac{26}{90}\simeq {0,29}= 29\%.</math> }}
}}
Dagli esempi svolti possiamo enunciare il seguente teorema:
{{Algebra1/Box vuoto|'''Teorema delle probabilità totali''': Dati due eventi <math>A</math> e <math>B</math>, entrambi appartenenti allo stesso spazio degli eventi, la probabilità dell’unione degli eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità della loro intersezione. In simboli:
{{Testo centrato|
<math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).</math>
}}}}
Se pensiamo alla probabilità come una massa unitaria distribuita sugli eventi, per calcolare la probabilità di <math>A\cup B</math>, considero la massa presente su <math>A</math> che addiziono a quella presente su <math>B</math> a cui devo togliere la massa presente su <math>A\cap B</math> che è stata contata due volte.
{{Algebra1/Osservazione| Il teorema delle proprietà totali vale anche nel caso degli eventi incompatibili in quanto in questo caso la probabilità dell’intersezione dei due eventi <math>P(A\cap B)=\emptyset</math> e l’uguaglianza diventa <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B).</math>}}
== Probabilità dell’evento complementare ==
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