Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni irrazionali: differenze tra le versioni
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== Disequazioni irrazionali ==
Concludiamo con un cenno alle disequazioni irrazionali, nelle quali l’incognita compare sotto radice. Esaminiamo il caso in cui l’incognita è sotto radice quadrata e l’equazione presenta una sola radice. Qualunque sia la disequazione di partenza, ci si può sempre ricondurre ai seguenti due casi.
'''Primo caso''':
disequazioni nella forma <math>\sqrt{f(x)}>g(x)</math>.
Questa disequazione si può ricondurre allo studio di una coppia di sistemi di disequazioni. Infatti distinguiamo due casi a seconda del segno di <math>g(x)</math>.
* Se <math> g(x)<0 </math> la disequazione è sicuramente verificata, in quanto al primo membro c’è una quantità sicuramente positiva in quanto radice quadrata, sotto condizione di esistenza del radicando <math>f(x)\ge 0</math>. Pertanto, il primo sistema è:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{g(x)<0}\\{f(x)\ge 0}\end{array}\right..</math>
}}
* Se <math>g(x)\ge 0</math>, dopo aver posto la condizione di esistenza del radicale <math>f(x)\ge 0</math> si possono elevare al quadrato i due membri dell’equazione, in quanto entrambi positivi. Si ottiene il sistema
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)\ge 0 \\f(x)>\left[g(x)\right]^2 \end{array}\right..</math>
}}
La seconda disequazione del sistema si può eliminare in quanto la prima e la terza disequazione implicano automaticamente che <math>f(x)>0</math>.
In definitiva:
{{Testo centrato|
<math>\sqrt{f(x)}>g(x) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{g(x)<0}\\{f(x)\ge 0}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)>\left[g(x)\right]^2\end{array}\right..</math>
}}
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente disequazione irrazionale <math>\sqrt{25-x^2}>x-5.</math><br />
La disequazione è equivalente al sistema
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x-5<0}\\{25-x^2\ge 0}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}x-5\ge 0\\25-x^2>(x-5)^2 \end{array}\right..</math>
}}
Il primo sistema
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x-5<0 \Rightarrow x<5}\\{25-x^2\ge 0 \Rightarrow -5\le x\le 5}\end{array} \text{è verificato per }-5\le x< 5.\right.</math>
}}
Il secondo sistema
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x-5\ge 0\\25-x^2>(x-5)^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-5\ge 0\\2x^2-10x<0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ge 5\\0<x<5\end{array} \text{non è mai verificato}.\right.</math>
}}
[[File:Algebra2 eqirrz fig001 seg.svg|center|Schema grafico per la risoluzione di diseq.irrazionali]]
L’insieme soluzione della disequazione è quindi <math>-5\le x< 5</math>.
}}
<br />
'''Secondo caso''':
disequazioni nella forma <math>{\sqrt{f(x)}<g(x)}</math>.
Questa disequazione si può ricondurre allo studio di un solo sistema di disequazioni, in quanto la condizione <math>g(x)\le 0</math> non dà soluzioni poiché la radice del primo membro dovrebbe essere minore di un numero negativo, cosa non possibile visto che le radici quadrate danno sempre valori positivi. Rimane allora da esaminare la condizione <math>g(x)>0</math>; in questo caso si può elevare al quadrato primo e secondo membro ma resta sempre da aggiungere la condizione di esistenza del radicale, cioè <math>f(x)\ge 0</math>. In definitiva:
{{Testo centrato|
<math>\sqrt{f(x)}<g(x) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\g(x)>0\\f(x)<\left[g(x)\right]^2\end{array}\right..</math>
}}
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente disequazione irrazionale <math>\sqrt{25-x^2}\le x-5.</math><br />
La disequazione presenta il segno di minore, pertanto è equivalente a un sistema di tre disequazioni:
{{Testo centrato|
<math>\sqrt{25-x^2}\le x-5 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}25-x^2\ge 0\\x-5\ge 0 \\25-x^2\le (x-5)^2\end{array}\right..</math>
}}
Sviluppando il sistema si ha:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}25-x^2\ge 0\\x-5\ge 0\\25-x^2\le (x-5)^2\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}25-x^2\ge 0\\x-5\ge 0 \\2x^2-10x\le 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-5\le x\le 5\\x\ge 5\\0\le x\le 5\end{array}\right..</math>
}}
[[File:Algebra2 eqirrz fig002 seg.svg|center|Schema grafico per la risoluzione di diseq.irrazionali]]
La disequazione è verificata solo per <math>x=5</math>.
}}
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente disequazione irrazionale <math>\sqrt{x+3}<\sqrt{3x+1}.</math><br />
La disequazione è equivalente al sistema:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\3x+1\ge 0\\x+3<3x+1\end{array}\right..</math>
}}
La prima disequazione indica le condizioni di esistenza del primo radicale, la seconda indica le condizione di esistenza del secondo radicale e dato che i due membri della disequazione sono positivi, la terza disequazione è quella data, nei quali entrambi i membri sono stati elevati al quadrato.<br />
Eseguendo i vari passaggi si ha:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\3x+1\ge 0\\x+3<3x+1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ge -3\\x\ge -\tfrac 1 3\\x>1 \end{array}\right..</math>
}}
[[File:Algebra2 eqirrz fig003 seg.svg|center|Schema grafico per la risoluzione di diseq.irrazionali]]
La disequazione è verificata per <math> x>1 </math>.
}}
[[Categoria:Algebra 2|Equazioni e disequazioni irrazionali]]
{{Avanzamento|100%|23 luglio 2016}}
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