Differenze tra le versioni di "Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni irrazionali"

 
== Equazioni con più radicali ==
 
Non potendo stabilire una forma canonica, procederemo mediante esempi al fine di acquisire un metodo risolutivo a seconda dei casi che si possono presentare.
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math>\sqrt{2-\tfrac 1 x}=\sqrt x.</math><br />
 
Osserviamo subito che i due membri, nell’insieme in cui entrambi hanno significato, sono positivi. Determiniamo quindi l’insieme in cui cercare le soluzioni:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{2-\tfrac 1 x\ge 0}\\{x\ge 0}\end{array}\right..</math>
}}
 
Risolvendo le due disequazioni otteniamo
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x<0\vee x\ge \tfrac 1 2\\{x\ge 0}\end{array}\right.\Rightarrow x\ge \tfrac 1 2.</math>
}}
 
Ora eleviamo al quadrato entrambi i membri dell’equazione e otteniamo <math>2-\tfrac 1 x=x</math>, da cui si ha <math>x_1=x_2=1</math> che è accettabile in quanto maggiore di <math>\tfrac 1 2</math>.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math>\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{2x^2+6x}=0.</math><br />
 
Separiamo i due radicali <math>\sqrt{x+3}=\sqrt[3]{2x^2+6x}.</math><br />
 
Affinché i due membri dell’equazione siano positivi dobbiamo porre la condizione di positività anche al radicando del radicale cubico:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+3\ge 0}\\{2x^2+6x\ge 0}\end{array}\right.\Rightarrow x=-3\;\vee\; x\ge 0.</math>
}}
 
Per risolvere l’equazione occorre avere radici con lo stesso indice. Il minimo comune indice è <math>6</math>, perciò si ha <math>\sqrt[6]{(x+3)^3}=\sqrt[6]{\left(2x^2+6x\right)^2}</math>. Ed elevando alla sesta potenza si ottiene
{{Testo centrato|
<math>(x+3)^3=\left(2x^2+6x\right)^2 \Rightarrow (x+3)^3-\left(2x^2+6x\right)^2=0 \Rightarrow (x+3)^3-[2x(x+3)]^2=0.</math>
}}
Raccogliendo a fattore comune si ha: <math>(x+3)^2\cdot \left(x+3-4x^2\right)=0.</math><br />
 
Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo
{{Testo centrato|
<math>\begin{array}{l}(x+3)^2=0\Rightarrow x+3=0\Rightarrow x=-3 \text{ e} \\-4x^2+x+3=0\Rightarrow x_1=-\tfrac 3 4\;\vee\; x_2=1.\end{array}</math>
}}
Le soluzioni che verificano le condizioni <math>x=-3\;\vee\; x\ge 0</math> sono <math>x_1=-3</math> e <math>x_2=1</math>.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math>\sqrt x+\sqrt{x^3+2x-1}=0.</math><br />
 
Separiamo i due radicali <math>\sqrt x=-\sqrt{x^3+2x-1}</math>; osserviamo che i due membri nell’insieme in cui sono definiti sono di segno opposto e dunque l’uguaglianza sarà vera solo nel caso in cui entrambi si annullino.<br />
 
Il primo membro si annulla solo per <math>x=0</math> che non annulla il secondo membro, pertanto l’equazione non ha soluzioni.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math>-\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{2x+2}=0.</math><br />
 
Portiamo la radice con il segno meno a secondo membro, in modo da avere due radici positive: <math>\sqrt{2x+2}=\sqrt{x^2+3x}</math>. Poniamo le condizione sull’accettabilità della soluzione:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{2x+2\ge 0}\\{x^2+3x\ge 0}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x\ge -1}\\{x\le -3\vee x\ge 0}\end{array}\right.\Rightarrow x\ge 0.</math>
}}
 
Eleviamo al quadrato i due membri dell’equazione
{{Testo centrato|
<math>2x+2=x^2+3x\Rightarrow x^2+x-2=0.</math>
}}
 
Le soluzioni sono <math>x_1=-2</math> e <math>x_2=1.</math> Di queste solo <math>x=1</math> soddisfa le condizioni di accettabilità.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math>\sqrt{x+7}-\sqrt{x-1}=2.</math><br />
 
In questo esempio ci sono altri termini oltre i due radicali.<br />
 
Spostiamo dopo l’uguale il radicale negativo in modo che sia a destra sia a sinistra i termini siano positivi: <math>\sqrt{x+7}=\sqrt{x-1}+2</math>.<br />
 
Poniamo le condizioni sull’accettabilità delle soluzioni:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+7\ge 0}\\{x-1\ge 0}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x\ge -7}\\{x\ge 1}\end{array}\right.\Rightarrow x\ge 1.</math>
}}
 
Elevando l’equazione al quadrato si ha:
{{Testo centrato|
<math>x+7=4+4\sqrt{x-1}+x-1 \Rightarrow 4\sqrt{x-1}=4 \Rightarrow \sqrt{x-1}=1.</math>
}}
 
Eleviamo nuovamente al quadrato <math>\sqrt{x-1}=1</math> ottenendo <math>x-1=1\Rightarrow x=2</math>, che è accettabile.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math>\sqrt{x^2+1}-\sqrt{1-4x}=x.</math><br />
 
Per prima cosa porto al secondo membro il radicale che ha il segno negativo, in modo che diventi positivo <math>\sqrt{x^2+1}=\sqrt{1-4x}+x.</math><br />
 
In questo caso risulta problematico risolvere il sistema con tutte le condizioni di accettabilità, perché bisognerebbe risolvere anche la disequazione irrazionale <math>\sqrt{1-4x}+x\ge 0</math>. Ci limiteremo allora a risolvere l’equazione e poi verificarne le soluzioni.<br />
 
Elevo al quadrato ambo i membri dell’equazione: <math>x^2+1=1-4x+x^2+2x\sqrt{1-4x}.</math><br />
 
Semplificando si ha <math>x(2-\sqrt{1-4x})=0</math>. Una soluzione è <math>x=0</math>, la seconda soluzione si ottiene da <math>2-\sqrt{1-4x}=0\Rightarrow 2=\sqrt{1-4x}</math>. Elevando al quadrato si ha <math>4=1-4x\Rightarrow x=-\tfrac 3 4</math>.<br />
 
Verifichiamo ora le soluzioni. Per <math>x=0</math> si ha <math>\sqrt{(0)^2+1}=\sqrt{1-4\cdot (0)}+0\Rightarrow 1=1</math> soluzione accettabile. Per <math>x=-\tfrac 3 4</math> si ha <math>\sqrt{\left(-\tfrac 3 4\right)^2+1}=\sqrt{1-4\cdot\left(-\tfrac 3 4\right)}-\tfrac 3 4\Rightarrow\tfrac 5 4=\tfrac 5 4</math> e anche questa è una soluzione accettabile.
}}
 
== Disequazioni irrazionali ==
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