Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni irrazionali: differenze tra le versioni
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=== Equazioni irrazionali con la radice di indice pari ===
Ricordiamo che l’espressione irrazionale <math>E=\sqrt[n]{f(x)}</math> con <math>n</math> pari maggiore di <math>1</math> ha significato per tutti i valori di <math>x</math> che rendono non negativo il radicando, pertanto l’insieme soluzione di un’equazione irrazionale in cui compaiono uno o più radicali di indice pari sarà un sottoinsieme del dominio o insieme di definizione del radicale (condizione di realtà del radicale).
Per esempio, nell’equazione <math>\sqrt{2x}=x^2-x</math> si ha che il dominio <math>\mathcal{D}</math> del radicale è dato da <math>x\ge 0</math>, cioè <math>\mathcal{D}=\mathbb{R}^{+}\cup \{0\}</math>. Pertanto l’insieme delle soluzioni è un sottoinsieme di tale dominio, cioè <math>\text{I.S.}\subseteq \mathcal{D}</math>. Nessun numero negativo potrà essere soluzione dell’equazione, altrimenti il radicale non sarebbe un numero reale. Inoltre, poiché l’espressione irrazionale <math>\sqrt[n]{f(x)}</math> nel suo <math>\text{I.D.}</math> è positiva o nulla (per definizione), l’equazione <math>\sqrt{2x}=x^2-x</math> potrà verificarsi solo se il secondo membro sarà non negativo (condizione di concordanza del segno).
Quando abbiamo un’equazione nella quale l’incognita compare sotto una radice di indice <math>n</math> pari possiamo elevare alla potenza <math>n</math> entrambi i membri dell’equazione eliminando la radice. Tuttavia, l’equazione ottenuta non sempre è equivalente a quella data, ossia non sempre ha le stesse soluzioni dell’equazione data (in genere ne ha di più).
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math> \sqrt{x+2}=x.</math><br />
Elevando al quadrato si ha <math>x+2=x^2</math> da cui <math>x^2-x-2=0</math>. Risolvendo questa equazione di secondo grado otteniamo le soluzioni <math>x_1=-1</math> e <math>x_2=2</math>. Tuttavia, sostituendo questi valori di <math>x</math> nell’equazione irrazionale di partenza si ha:
* per <math>x=-1 \Rightarrow \sqrt{-1+2}=-1 \Rightarrow \sqrt 1=-1</math> che è falsa, pertanto <math>x=-1</math> non può essere soluzione;
* per <math>x=2 \Rightarrow \sqrt{2+2}=2 \Rightarrow \sqrt 4=2</math> che è vera, pertanto <math>x=2</math> è l’unica soluzione.
Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è <math>\text{I.S.}=\{2\}</math>.
}}
'''Conclusione''' Per risolvere un’equazione irrazionale con indice pari possiamo allora elevare alla potenza pari della radice i due membri dell’equazione, risolvere l’equazione che si ottiene e verificare se le soluzioni trovate sono accettabili.
Possiamo però procedere in un altro modo: l’insieme soluzione dell’equazione irrazionale <math>\sqrt[n]{f(x)}=g(x)</math> con <math>n</math> pari non nullo sarà un sottoinsieme dell’insieme in cui sono contemporaneamente vere le condizioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{f(x)\ge 0}\\{g(x)\ge 0}\end{array}\right..</math>
}}
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere le seguenti equazioni irrazionali con radice di indice pari.<br />
<ul>
<li><p><math>\sqrt{x+2}=x</math>.</p>
<p>La soluzione si ottiene risolvendo
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x+2\ge 0 \\x\ge 0\\x+2=x^2 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\x+2=x^2 \end{array}\right..</math></p>
<p>Le soluzioni dell’equazione <math>x^2-x-2=0</math> sono <math>x_1=-1\vee x_2=2</math>, ma
}}
l’unica accettabile è <math>x=2</math> (per la condizione <math>x\ge 0.</math>)
</p></li>
<li><p><math>\sqrt{5-2x}=x-1</math>.</p>
<p>Elevo ambo i membri al quadrato, ottengo <math>5-2x=x^2-2x+1 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x_{1\text{,}2}=\pm 2</math>, sostituisco <math>x=-2</math> ottengo <math>\sqrt{5-2\cdot (-2)}=-2-1 \Rightarrow \sqrt 9=-3</math> falso, quindi <math>x=-2</math> non è accettabile; sostituisco <math>x=+2</math> ottengo <math>\sqrt{5-2\cdot 2}=2-1 \Rightarrow \sqrt 1=1</math> vero, quindi <math>x=+2</math> è l’unica soluzione dell’equazione data.</p>
<p>Arrivo allo stesso risultato ponendo le condizioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}5-2x\ge 0 \\x\ge 1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\le \tfrac 5 2\\x\ge 1\end{array}\right.</math>
}}
che indica l’intervallo <math>1\le x\le \tfrac 5 2</math>. La soluzione <math>x=-2</math> non è accettabile in quando non è compresa tra <math>1</math> e <math>\tfrac 5 2</math>, mentre la soluzione <math>x=+2</math> è invece accettabile.</p></li>
<li><p><math>\sqrt{2x}=x^2-x</math>.</p>
<p>Determiniamo l’insieme in cui cercare le soluzioni dell’equazione
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{2x\ge 0}\\{x^2-x\ge 0}\end{array}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}{2x\ge 0}\\{x(x-1)\ge 0}\end{array}\right.</math>
}}
con soluzione <math>x=0\vee x\ge 1</math>. Rendiamo razionale l’equazione elevando ambo i membri al quadrato:
{{Testo centrato|
<math>\left(\sqrt{2x}\right)^2=\left(x^2-x\right)^2\quad\Rightarrow\quad 2x=x^4-2x^3+x^2.</math> Risolviamo l’equazione ottenuta: <math>x^4-2x^3+x^2-2x=0\quad\Rightarrow\quad x\cdot \left(x^2+1\right)\cdot (x-2)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\;\vee\; x=2.</math>
}}</p>
<p>Confrontiamo le soluzioni ottenute con le condizioni <math>x=0\;\vee\; x\ge 1</math>. Poiché entrambe le soluzioni verificano queste condizioni si ha che <math>\text{I.S.}=\{0\text{, }2\}</math>.</p></li></ul>
}}
=== Equazioni irrazionali con la radice di indice dispari ===
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