Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni irrazionali

Equazioni irrazionali con un solo radicale

Definizione: Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice.

Analizziamo le seguenti equazioni: ${\sqrt {3}}\cdot x=x^{2}-x+2$ e ${\sqrt {2x}}=x^{2}-x$. Notiamo che l’equazione ${\sqrt {3}}\cdot x=x^{2}-x+2$ è di secondo grado, intera con un coefficiente irrazionale (sotto il segno di radice), ma non è un’equazione irrazionale perché l’incognita non compare sotto la radice. Nell’equazione ${\sqrt {2x}}=x^{2}-x$, invece, il monomio $2x$ (contenente l’incognita) compare sotto il segno di radice, pertanto essa è un’equazione irrazionale.

Problema:  Determinare l’area di un triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$, avente perimetro di $24{\text{cm}}$ e i cateti che differiscono di $2{\text{cm}}$.

Triangolo rettangolo

Dati:  $2p=24$;  ${\overline {AB}}-{\overline {AC}}=2.$

Obiettivo: Area.

Soluzione ${{\text{Area}}\;}={\tfrac {{\overline {AB}}\cdot {\overline {AC}}}{2}}$; dobbiamo quindi determinare i cateti. Poniamo ${\overline {AC}}=x$ con $x>0$ quindi ${\overline {AB}}=2+x$ e sfruttiamo l’informazione relativa al perimetro per determinare l’equazione risolvente ${\overline {AB}}+{\overline {AC}}+{\overline {BC}}=24.$

Applicando il teorema di Pitagora si ricava ${\overline {BC}}={\sqrt {x^{2}+(2+x)^{2}}}={\sqrt {2x^{2}+4x+4}}$ e dunque otteniamo l’equazione risolvente $2x+2+{\sqrt {2x^{2}+4x+4}}=24$ in cui l’incognita compare sotto il segno di radice. Vedremo nel seguito come risolvere un’equazione di questo tipo.