Esercizi di fisica con soluzioni/Urti: differenze tra le versioni
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<span class="noprint">[[#10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
===11. Disco rigido ruotante===
[[Immagine:DiscoRuotante.png|200px|right]]
Un disco omogeneo di massa <math>M\ </math> e raggio <math>R\ </math> ruota intorno ad un asse passante per il suo centro con velocità angolare iniziale costante <math>\omega_i\ </math>. Un punto materiale di massa <math>m\ </math> è lanciato lungo una direzione parallela al momento angolare del disco come indicato nella figura. Il punto materiale urta in modo completamente anelastico sul bordo del disco con velocità <math>v_0\ </math>. Dopo l’urto si misura che la velocità angolare del sistema fisico disco più punto materiale è uguale a <math>\omega_f\ </math>. Subito dopo l’urto, si applica sull’asse di rotazione un
momento frenante costante in modulo uguale a <math>M_a\ </math> che ferma il disco dopo che questo ha
compiuto <math>n\ </math> giri completi. Si chiede di determinare:
a) la massa <math>M\ </math> del disco;
b) Il raggio <math>R\ </math> del disco;
c) La perdita di energia meccanica dovuta al solo processo di urto anelastico ;
d) La posizione del centro di massa del sistema fisico dopo l’urto .
(dati del problema <math>\omega_i=12\ rad/s\ </math>, <math>\omega_f=6\ rad/s\ </math>,
<math>m=1\ kg\ </math>, <math>v_0=2\ m/s\ </math>, <math>M_a=0.2\ Nm\ </math>, <math>n=2.5\ </math> giri)
<span class="noprint">[[#11. Disco rigido ruotante_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
== Soluzioni ==
Line 412 ⟶ 430:
:<math>\cos\phi_{max}=1-\frac{I_{P}\omega^{2}}{g\left[m_{1}l+2m_{0}(l+R)\right]}\ </math>
:<math>\phi_{max}=58{^o}\ </math>
===11. Disco rigido ruotante===
<span class="noprint">[[#11. Disco rigido ruotante|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
Il momento angolare dovuto al punto materiale è perpendicolare al momento angolare assiale del disco. Pertanto, il momento angolare assiale (lungo l’asse z) si conserva prima e dopo l’urto e si può porre:
:<math>I_z\omega_i=I_z\omega_f+mR^2\omega_f\ </math>
Quindi essendo per un disco <math>I_z=\frac 12 MR^2\ </math>:
:<math>\frac 12 MR^2\omega_i=\frac 12 MR^2\omega_f+mR^2\omega_f\rightarrow M=\frac {2m\omega_f}{\omega_i-\omega_f}=2\ kg\ </math>
b)
La energia totale persa fino a fermarsi è pari a:
:<math>\Delta E_r=-\frac 12(I_z+mR^2)\omega_f^2\ </math>
Una volta applicato sull’asse di rotazione il momento frenante <math>M_a\ </math>, il disco si ferma dopo aver compiuto <math>n=2.5\ giri\ </math> completi. Allora è possibile scrivere che la perdita istantanea di energia rotazionale è pari al momento frenante per l'angolo infinitesimo $\Delta E_r\ </math>:
:<math>dE_r=-M_ad\theta\ </math>
L'integrale del primo temine è pari a:
:<math>\Delta E_r=\frac 12(I_z+mR^2)\omega_f^2\ </math>
mentre l'integrale del secondo termine:
:<math>\int_0^{n2\pi}M_ad\theta=2M_a\pi n\ </math>
Quindi:
:<math>\frac 12(I_z+mR^2)\omega_f=2M_a\pi n\rightarrow R=2
\sqrt{\frac{M_a\pi n}{\omega_f(M+2m)}}=0.21\ m\ </math>
c)
La perdita di energia meccanica relativa solo all’urto anelastico tra il punto materiale e il disco vale:
:<math>\Delta E_a=\frac 12[I_z\omega_i^2+mv_o^2-(I_z+mR^2)\omega_f^2]=3.57\ J\ </math>
d)
Il centro di massa <math>x_{CM}\ </math> del sistema fisico dopo l’urto misurato rispetto all’asse di rotazione è uguale a:
:<math>x_{CM}=\frac {mR}{m+M}=0.07\ m\ </math>
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Urti]]
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