Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli: differenze tra le versioni

 
== Equazioni con più espressioni in valore assoluto ==
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|2x-3\right|-\left|1-2x\right|+x=4</math>.<br />
 
L’equazione presenta due espressioni in valore assoluto; ciascuna espressione sarà sviluppata in due modi diversi dipendenti dal segno assunto dai rispettivi argomenti. Si presenteranno allora quattro casi e l’insieme soluzione dell’equazione sarà ottenuto dall’unione delle soluzioni dei singoli casi. Per semplificare il procedimento studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:
 
[[File:Algebra2 eqmod fig002 seg.svg|center|Schema grafico per equazioni in valore assoluto]]
 
Si presentano tre casi:
 
* Caso I: <math> \left\{\begin{array}{l}{x< \tfrac 1 2}\\{-(2x-3)-(1-2x)+x=4}\end{array}\right. </math>;
* Caso II: <math> \left\{\begin{array}{l}{\tfrac 1 2\le x<\tfrac 3 2}\\{-(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}\right. </math>;
* Caso III: <math> \left\{\begin{array}{l}{x\ge \tfrac 3 2}\\{(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}\right. </math>.
 
In ogni sistema la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. Risolviamo.<br /><br />
 
Caso I:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x< \tfrac 1 2\\-(2x-3)-(1-2x)+x=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x< \tfrac 1 2\\x=2\end{array}\right.\Rightarrow \text{I.S.}_1=\emptyset .</math>
}}
Il sistema è impossibile in quanto <math>2</math> non è minore di <math>\tfrac 1 2</math>.<br /><br />
 
Caso II:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}\tfrac 1 2\le x< \tfrac 3 2\\-(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\tfrac 1 2\le x< \tfrac 3 2\\x=0\end{array}\right.\Rightarrow \text{I.S.}_2=\emptyset .</math>
}}
Il sistema è impossibile in quanto 0 non appartiene all’intervallo <math>\left[\tfrac{1}{2}\text{, }\tfrac{3}{2}\right).</math><br /><br />
 
Caso III:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x\ge\tfrac 3 2\\(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ge\tfrac 3 2\\x=6\end{array}\right.\Rightarrow \text{I.S.}_3=\{6\}.</math>
}}
La soluzione in questo caso è accettabile.<br />
 
Conclusione: <math>\text{I.S.}=\text{I.S.}_1\cup \text{I.S.}_2\cup \text{I.S.}_3=\{6\}.</math>
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|x^2-4\right|-3x=\left|x-1\right|</math>.<br />
 
Confrontiamo il segno di ciascun argomento servendoci dello schema:
 
[[File:Algebra2 eqmod fig001 seg.svg|center|Schema grafico per equazioni in valore assoluto]]
 
In questo esempio dobbiamo esaminare 4 casi che si esplicitano nei sistemi:
 
* Caso I:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x< -2}\\{x^2-4-3x=-x+1}\Rightarrow x_1=1-\sqrt 6\;\vee\; x_2=1+\sqrt 6\end{array}\right.\Rightarrow \text{I.S.}_1=\emptyset .</math>
}}
* Caso II:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{-2\le x<1}\\{-x^2+4-3x=-x+1}\Rightarrow x_1=-3\;\vee\; x_2=1\end{array}\right.\Rightarrow \text{I.S.}_2=\emptyset .</math>
}}
* Caso III:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{1\le x<2}\\{-x^2+4-3x=x-1}\Rightarrow x_1=-5\;\vee\; x_2=1\end{array}\right.\Rightarrow \text{I.S.}_3=\{1\}.</math>
}}
* Caso IV:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x\ge 2}\\{x^2-4-3x=x-1}\Rightarrow x_1=2-\sqrt 7\;\vee\; x_2=2+\sqrt 7\end{array}\right.\Rightarrow \text{I.S.}_4=\left\{2+\sqrt 7\right\}.</math>
}}
 
Conclusione: <math>\text{I.S.}=\text{I.S.}_1\cup \text{I.S.}_2\cup \text{I.S.}_3\cup \text{I.S.}_4=\left\{1\text{, }2+\sqrt 7\right\}</math>.
}}
 
{{Algebra1/Procedura|Risoluzione di un’equazione con valori assoluti:<br />
 
# ''l’incognita è presente solo nell’argomento del modulo.'' L’equazione è del tipo <math>\left|f(x)\right|=k</math> e si risolve studiando <math>f(x)=\pm k</math>. Se <math>k<0</math> l’equazione è impossibile;
# ''l’incognita si trova anche al di fuori del modulo.'' Si analizza il segno dell’argomento del modulo e si risolvono i due sistemi dove la prima condizione è la disequazione che vincola il segno dell’argomento e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. L’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei due sistemi;
# ''è presente più di un modulo che ha l’incognita nel proprio argomento.'' Si studia il segno di ogni argomento e dallo schema che ne segue si costruiscono e quindi si risolvono i sistemi in cui la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione in base al segno definito. Anche in questo caso l’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei vari sistemi.
}}
 
== Disequazioni con valore assoluto ==
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